第1讲 函数的图象及性质及零点问题讲义-2024届高考二轮复习（老教材老高考）

2024高考二轮复习第1讲 函数的图象及性质 1、 【高考考情】 1. 基本初等函数的图象、性质是高考的重点，常见的有利用函数性质比较大小，零点个数等，其中函数的零点个数常考在压轴题部分； 2. 高考对函数的图象和性质主要集中在函数的性质，分段函数等，考查求函数的定义域，分段函数的函数值或求分段函数中的参数以及函数图象的识别； 3. 函数的性质通常是两个或两个以上结合起来命题，所以要注意将函数的各个性质相互练习，灵活地运用； 4. 这部分内容命题形式以选择填空为主，有时出现在压轴题部分，与导数、不等式以及一些新定义结合在一起命题。 2、 【考点聚焦】 · 常见的基本初等函数： 一次函数： 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 （为常数且） 　 过一二三象限　 图象左低右高， 随增大而增大　 （正比例函数） 过一三象限　 　 过一三四象限 过一二四象限 图象左高右低， 随增大而减小　 （正比例函数） 过二四象限　 过二三四象限　 反比例函数： 函数 图象 性质 过一三象限 在每个象限内， 随增大而减小 过二四象限 在每个象限内， 随增大而增大 二次函数： 图象 性质 函数 关于对称； 时有最小值 时，单调递减； 时，单调递增. 关于对称； 时有最大值 时，单调递增； 时，单调递减. 指数函数： 函数 图象 性质 时，； 时，； 在R上单调递增 时，； 时，； 在R上单调递减 对数函数： 函数 图象 性质 时，； 时，； 在上单调递增 时，； 时，； 在上单调递减 幂函数： 函数 图象 性质 在R上单调递增； 奇函数，图象关于原点对称. 在单调递减；单调递增； 偶函数，图象关于轴对称. 在R上单调递增； 奇函数，图象关于原点对称. 在单调递增； 在和单调递减； 奇函数，图象关于原点对称. · 函数图象的变换： （1） 平移变换：左加右减，上加下减. （2） 伸缩变换： ①． ②． （3） 对称变换： ①． ②． ③． ④． （4） 翻折变换： ①． ②． · 函数的性质： 单调性： 一般地，设函数的定义域为D，： ①如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递增，区间叫做函数的单调递增区间； 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function）. ②如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递减，区间叫做函数的单调递减区间； 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasing function）. 奇偶性： 若函数的定义域为，若，都有：，且： ①，那么函数就叫做偶函数； ②，那么函数就叫做奇函数. 函数奇偶性的判断方法： ①定义法；②图象法；③奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 周期性： （1） 周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的任何值时都有：，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期. （2） 最小正周期：如果再周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 对称性： （1）若函数满足关系式，则函数的图象关于点对称． （2）若函数满足关系式，则函数的图象关于直线对称． 函数性质常见的一些结论： （1）； （2）； （3）若函数为偶函数，且关于对称，则是函数的一个周期； （4）若函数为奇函数，且关于对称，则是函数的一个周期； （5）若函数为偶函数，且关于对称，则是函数的一个周期； （6）若函数为奇函数，且关于对称，则是函数的一个周期； （7）若函数同时关于对称，则为函数的一个周期； （8）若函数同时关于对称，则为函数的一个周期； （9）若函数关于且关于对称，则为函数的一个周期； （10）若，则为函数的一个周期； （11）若，则为函数的一个周期； （12）若，则为函数的一个周期； · 判断函数零点个数的方法： （1）利用零点存在性定理判断法． （2）代数法：求方程的实数根． （3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 3、 【典例分析】 题型一 基本初等函数的图象和性质 1.为实数，点是函数上的点，若，则（ ） 2.若函数，最大值是M，最小值