考点23 相似三角形的判定与性质 备战2024年中考数学考点总复习

【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 考点23 相似三角形的判定与性质（学生版） 1 比例的基本性质 （1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比. （2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. （3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项. （4）比例的基本性质:⇔ad=bc. （5）合比性质:. （6）等比性质: =…=(b+d+…+n≠0)⇒. （7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点. （8）平行线分线段成比例定理: ①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 2.相似三角形 （1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形. （2）似三角形的判定定理 ① 相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似; ② 相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似; ③ 相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ④ 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; ⑤ 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj （3）性质: ①相似三角形的对应角相等; ②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例; ③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 3.相似多边形 （1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比. （2）性质: ①相似多边形的对应角相等、对应边成比例. ②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4.图形的位似 （1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比. （2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方. 【例1】（成比例线段）（2023·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A． B．1 C． D．2 【例2】（2023·湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【例3】（2023·山东）如图，∽，若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【例4】（2023·青海）如图，是的中线，是中点，的延长线与交于点，则：等于(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 【例5】（2023·陕西）如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则▱的周长为(    ) A. B. C. D. 【例6】.（2023·湖南衡阳）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 1.黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点. 2.判定三角形相似的几种思路方法 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形. （2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似. 若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例. （3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似. 若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比