6.1 正弦、余弦、正切、余切（第1课时 任意角及其度量）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.1 正弦、余弦、正切、余切（第1课时）任意角及其度量 第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 学习目标 1.理解任意角的概念． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点) 3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点) 情境导入 在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？ 【思考1】 初中学过角的概念是什么？范围是多大? 【提示】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。 【思考2】（1）体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？ （2）经过1小时，秒针、分针各转了多少度？ （3）在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？ 【提示】上述问题中，角的度数已经不再局限在360度内，所以角的概念需进行推广。 由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值 （表6-1）： （表6-1） 2 任意角及其度量 在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形（图6-1-2）． 我们以前学习过的锐角、直角、钝角、平角和周角，其大小都在0°到360°之间．不过在体操、跳水等体育运动中，会听到转体720°、转体1080°等术语；当手表比标准时间慢或者快10分钟的时候，只需要将分针旋转60°就可以调节准确，但也有按顺时针和逆时针方向旋转的差异．因此，要准确地刻画这些现象，对于角而言，不但要考察旋转量，而且要考察旋转方向，这就需要适当推广角的概念． 习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的（图6-1-2） 特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为零角．零角的始边与终边重合． 这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过360°的角。 为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限．如图6-1-3，60°和420°都是第一象限的角，135°和-225°都是第二象限的角．当角的终边在坐标轴上时，就不说这些角属于哪一象限 例如，若角α是第一象限的角，将其终边绕原点逆时针旋转90°后，所得的角α＋90°是第二象限的角；将其终边绕原点逆时针旋转180°后，所得的角α＋180°是第三象限的角；而将其终边绕原点顺时针旋转90°后，所得的角α－90°则是第四象限的角． 从角的形成过程中可以看到，与某一个角α的始边相同且终边重合的角有无数个，它们的大小与角α都相差360°的整数倍． 在图6-1-3中，60°的角和420°的角的终边重合，前者与后者之差为-360°；135°的角和-225°的角的终边重合，前者与后者之差为360°．进一步，我们可以把所有与角α的终边重合的角（包括角α本身）的集合表示为 例1.判断下列各角分别属于哪个象限 ： （ １ ） －２４０° ； 　　　　　　　 （ ２ ） ２１００°． （ ２ ） 因为 ２１００°＝５×３６０°＋３００° ，而 ３００° 的角属于第四象限 ， 所以 ２１００° 的角属于第四象限 ． 解 　 （ １ ） 因为 －２４０°＝－３６０°＋１２０° ， 而 １２０° 的角属于第二象限 ， 所以 －２４０° 的角属于第二象限 ． 课本例题 例2. 写出与 －２００° 的终边重合的所有角组成的集合 S ，并列举 S 中满足不等式 －３６０°≤ β ＜７２０° 的所有元素 β ． 解 　 因为S ＝ ｛β ｜ β ＝ K · ３６０°－２００° ， K ∈Z ｝， 所以当 －３６０°≤ β ＜７２０° 时 ， β ＝－２００° 或 １６０° 或 ５２０°． 练习6.1（1） １．判断下列命题是否正确： 　　 （A）终边重合的两个角相等； （B）锐角是第一象限的角； （C）第二象限的角是钝角；