热点5-2 等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点5-2 等比数列的通项及前n项和 主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。 【题型1 等比数列的基本量计算】 满分技巧 等比数列的运算技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·辽宁·高三统考期中）已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）在等比数列中，若，，则等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型2 等比数列性质的应用】 满分技巧 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【例2】（2023·湖南永州·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ） A．1 B．2 C．10 D．100 【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ． 【变式2-3】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ） A．24 B．27 C．36 D．40 【变式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，， ． 【题型3 等比数列单调性及应用】 满分技巧 等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 【例3】（2023·福建厦门·高三厦门第二中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（ ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【变式3-1】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（ ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最小项