河北省唐山市路北区2023-2024学年高三上学期数学期末模拟试卷

河北省唐山市路北区2023-2024学年高三数学期末模拟试卷 一、单选题 1．已知，则的虚部为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．中，内角所对的边分别为，则“”是“为等腰三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在新高考改革中，某校在一次高三模拟考试中使用赋分制对学生的化学成绩（满分分）进行赋分，按照分数从高到低相应等级和所占人数比例分别为：等级（）、等级（）、等级（）、等级（）、等级（）．现从全年级随机抽取了名学生的化学原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．图中值为 B．该名学生中，一定有的学生化学原始分数在分数分及以上 C．根据样本分析，估计化学原始成绩分可以在等级处赋分 D．采用分层抽样的方法从原始成绩在和共抽取人，则需从中抽取人 5．已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象，则 A． B． C． D． 6．设，函数满足，若，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知为圆上任一点，，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为 A．9 B． C．3 D． 8．已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（    ） A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值 二、多选题 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 11．已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的离心率为 C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线 12．在边长为1的正方体中，动点满足．下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．若，则的轨迹长度为 C．异面直线与所成角的余弦值的最大值为 D．有且仅有三个点，使得 三、填空题 13．的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 14．已知，则 . 15．已知函数，在上可导，若，则成立.英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则   . 16．如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点， 给出下面四个结论： ①异面直线，所成的角为；                    ②点到平面的距离为定值； ③若为中点，则点到距离为；            ④的最小值为 则其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 17．已知等差数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积. 19．2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手． (1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率； (2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望． 20．在中内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 21．已知圆：和点，为圆上一动点，作线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过定点的直线交曲线于不同的两点，（点在点，之间），且满足，求直线的方程. 22．已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)若对于任意，若函数恒成立，求实数k的取值范围． 答案 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．ACD 10．ABD 11．ACD 12．AC 13．90 14．1 15． 16．①②④ 17．（1）设的首项为，公差为，则 由得，解得, 所以； （2）由得． 18.（1）取的中点，连接，，由于，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.又且， 所以四边形是平行四边形. 则又平面，平面， 所以平面. 所以平面平面.又平面， 所以直线平面 （2）因为，， 所以， 由于为中点，则，又侧面底面， 交线为，平面， 则平面，连接，可知，，两两垂直. 由（1）知直线平面， 19.（1）解：设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况， 所以； （2）解：依题意可得的所有可能结果为、、， 则，， ， 所以的分布列为