椭圆习题课课件-2024届高三数学一轮复习

椭　圆 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的______. 常数 焦点 焦距 2 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 范围 _____________________ _____________________ 2.椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 3 顶点 ___________________ ___________________ _____________________ __________________ 轴长 短轴长为____，长轴长为____ 焦点 __________________ ____________________ 焦距 |F1F2|＝____ 对称性 对称轴：_________，对称中心：______ 离心率 ______________ a，b，c的关系 ___________ A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 2b 2a F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c x轴和y轴 原点 a2＝b2＋c2 4 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大. 5 (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c). 6 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (　 　) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　 　) (3) ＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　 　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　 　) √ × × × A.6 B.3 C.4 D.2 √ √ 9 √ 10 例1　(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.双曲线的一支 题型一 椭圆的定义及其应用 √ 设动圆P的半径为r， 又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8， 则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r， 可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|， 则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆. 又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos 60° ＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16， 延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积. ∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4) ＝4a2－16， 又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝8， 跟踪训练1　(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为 √ ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)， ∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， 又8>4， ∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2， ∴b2＝12， (2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C： ＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为 A.4 B.8 C.10 D.20 √ 如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|， 当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0， 当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0， 所以△ABF周长的最大值为20.