8.2 函数与数学模型8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

8.2 函数与数学模型8种常见考法归类 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型： （7）对勾函数模型：f(x)＝x＋(a为正常数)． 注：“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质 ①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减． ②当x>0时，x＝时取最小值2； 当x<0时，x＝－时取最大值－2． 2、比较三种函数模型的性质 函数 性质　　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同 增长速度 ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长 增长后果 当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1) 3、4类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型. 4、指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 5、不同的函数增长模型的特点 对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律. 6、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 7、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的最值求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 8、指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0，a≠1，m≠0).在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示. (2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0，a≠1).对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解. (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型， ②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论. 9、解决实际问题的一般流程 ―→―→―→ 其中建立数学模型是关键． 10、利用已知函数模型解实际问题 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 11、用函数模型解应用问题的四个步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学模型； (4)还原：将数学结论还原为实际问题。 12、自建确定性函数模型解决实际问题 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.,设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.,列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.,限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 13、函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图. (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司