专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题）-高中数学高考备考二轮复习优化提优专题训练

专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题） 1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 3、【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 5、【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 6、【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 题型一 圆锥曲线中的最值问题 1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点． (1)求椭圆E的标准方程： (2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程； (3)若，且，求的最大值． 1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围． 题型二 圆锥曲线中的定点问题 2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 题型三 圆锥曲线中的定值问题 3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）. (1)求的值； (2)证明：直线与斜率之积为定值. 3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值. 题型四 圆锥曲线中的角度问题 4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时， (1)设直线的斜率分别为，求的值； (2)若，求的面积. 题型五 圆锥曲线中的探索性问题 5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是 （1）求椭圆的方程： （2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由 5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定