精品解析：广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试题

深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在梯形中，设，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 6. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 则下列结论正确的为（ ） A. 这位同学成绩的中位数是 B. 这位同学成绩的平均数是 C. 这位同学成绩的第百分位数是 D. 若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象与的图象关于对称 11. 已知圆，点在圆上，过可作两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为（ ） A. 当，时，点可是上任意一点 B. 当，时，可能等于 C. 若存在使得为等边三角形，则的最小值为 D. 若存在使得面积为，则可能为 12. 已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为（ ） A. 的轨迹长度为 B. 四面体的体积最大值为 C. 二面角的取值范围为 D. 当的周长最小时， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设等差数列的前项和为，若，，则公差 ______ 14. 某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为___________． 15. 已知奇函数及其导函数定义域均为，若恒成立，则________． 16. 已知双曲线离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不与顶点重合，记为的内心，，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求证：； （2）若的面积为，且，求． 19. 如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形． （1）证明：； （2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小． 20. 已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立. （1）当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率； （2）若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？ 21. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 22. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，． (i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，； (ii) 若，当最大时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）