2024年中考数学满分冲刺 最值模型之隐圆模型

最值模型之隐圆模型 模型一 隐圆之定点定长型 知识梳理 1、借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长. 2、圆外的定点A与圆上动点B的距离AB的最值问题： 当A、B、O三点共线时，AB有最大值或最小值。 如图2，AB最大值=OA+半径；如图3，AB最小值=OA－半径； 定长模型（共顶点的三条等线段） 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 例题解析 例1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 例2、如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    变式训练 1． 如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为_________. 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． 3、如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________． 4、如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 5、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为___________． A D E A′ B C F B′ 模型二 隐圆之定长定角型 知识梳理 （1）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 解题技巧：若定角为90°，取定长AB的中点O为圆心，AB的一半为半径画辅助圆。 （2）定长对定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 解题技巧：若定角不为90°任取一动点P，画出△ABP的外接圆。 例题解析 例1、如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2、如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ． 例3、如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________． D B C A 例4、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________． A B C P 变式训练 1、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________． C B G D A E F 2、如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    3、如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．    （1）当时， ． （2）当E在上运动时，的最小值为 ． 4、如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________． 5、如图，在矩形中，，，为边