2024年中考满分冲刺 最值模型之胡不归与阿氏圆模型

最值模型之胡不归与阿氏圆模型 模型一 胡不归模型 知识梳理 【模型来源】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 【模型建立】 如图1，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 图1 图2 图3 【解题方法】 （1），记，即求BC+kAC的最小值. （2）如图2，构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. （3）如图3，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 例题解析 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 例1、如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点，则的最小值为 ．    例2、如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 例3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    例4、如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    变式训练 1、如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 2、如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    3、如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 4、如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 5、如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　 　． 6、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 7、如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     8、如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______． 模型二 阿氏圆模型 知识梳理 【模型来源】 所谓阿氏圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 【解题方法】 （1）如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值， （2）如图3，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，。 例题解析 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 例1、如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．求①；②；③；④的最小值． 【题型2】两定点在圆内：向外取点（系数大于1） 例2、如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【题型3】两定点一个在圆内，一个在圆外（提系数） 例3、如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　 　． 【题型4】隐圆型阿氏圆 例4、如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．