福建省泉州市培元中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

2024届培元中学高三年段12月份月考 数学试卷 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A 2 B. C. 4 D. 10 2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，若，则实数的取值范围为. A. B. C. D. 4. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ） A. 10 B. C. D. 2 5. 已知函数，若为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数有（ ） A 24个 B. 48个 C. 96个 D. 36个 7. 设等比数列的前项和为.已知，，则（ ） A. B. 16 C. 30 D. 8. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求． 9. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 双曲线在点处切线的斜率为 11. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ） A. 三次骰子后所走的步数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点处的所有不同走法共有27种 12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当中点时，直线平面 B. 当为中点时，直线与所成的角为 C. 若是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题． 13. 已知的展开式中项的系数为_____________． 14. 已知数列满足,，则的最小值为____________． 15. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过且倾斜角为的直线双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____________． 16. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________, 四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步簿． 17. 在△ABC中，内角的对边分别为，已知，，角为锐角． （1）求角的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求的值． 18. 已知函数图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求实数的值； （2）当方程有两个不等实根时，求的取值范围； （3）设，，，求证：，． 19. 已知椭圆，长轴长为4，分别为椭圆的左焦点、右焦点，椭圆上一点满足垂直于轴，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于两点，且点在以线段为直径的圆上，求证：直线过定点． 20. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，，二面角的大小为，则， 如图2，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，且，. （1）证明二面角为直二面角，并求的余弦值； （2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 21. 如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长； （2）若点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式，并求