第05讲 线段的垂直平分线-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第05讲 线段的垂直平分线 思维导图 核心考点聚焦 1.线段的垂直平分线的性质 2.线段的垂直平分线的判定 3.线段的垂直平分线的实际应用 4.尺规作图——作线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. ∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点， ∴PA=PB. 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 3. 尺规作图——作线段的垂直平分线： （1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线CD，CD即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 考点剖析 考点一、线段的垂直平分线的性质 例题：如图，在中，，，垂直平分，的周长为20，． (1)求的周长． (2)求的度数． 【解析】（1）∵垂直平分， ∴， ∵的周长为20，， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，且的周长为，的周长为，求的长． 【解析】（1）∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴． 考点二、线段的垂直平分线的判定 例题：如图，中，，连接是上一点且． (1)求证：垂直平分． (2)已知求的面积． 【解析】（1），， ∴点A在垂直平分线上，点E在垂直平分线上， 垂直平分； （2）中， ，， ， ， 过点作于， ， 的面积． 【变式训练】 1.如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 【解析】（1）∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，连接， ∵是的垂直平分线， 的最小值为 是的中点， 故答案为：6． 2.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)求证：； (2)过点A作，交延长线于点，DF交于，连接． ①若，则　　　　　． ②求证：垂直平分． 【解析】（1）是等边三角形，是中线， ，， 又， ， 又， ， ， ； （2）①∵是等边三角形，是中线， ∴，， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 根据（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 解得； 故答案为：8； ②∵， ， 为的中线， ∴ ∵， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 垂直平分． 考点三、线段的垂直平分线的实际应用 例题：如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【解析】∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 【变式训练】 1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（    ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】B 【解析】根据线段的垂