7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)8种常见考法归类 1、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 注：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值. 2、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 3、ω决定了函数的周期 注：在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，A，ω，φ为常数)中，A，ω，φ对函数图象的影响： A影响函数的最值；ω影响函数的周期；φ影响函数图象的左右平移. 3、三角函数图象变换 （1）振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 4、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 5、三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. 注：三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的. 6、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 7、已知图象求函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 法一：如果从图象可确定最值和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 8、研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：若x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；若(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；若[m，n]为函数的单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间. (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 考点2同名函数的图象变