专题7.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题7.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 5 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 6 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 7 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 8 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 10 知识点1 函数y=Asin(ωx+φ) 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【变式1-1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·北京昌平·期末）某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 【变式1-3】（24-25高一下·山东日照·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例2】（24-25高一下·广东清远·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【变式2-2】（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2-3】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 【例3】（25-26高三上·河北·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【变式4-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【变式4-3】（24-25高一下·天津河西·期中）函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①函数的图象关于点对称： ②函数的解析式可以为 ③函数在上的值域为； ④若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【变式5-1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【变式5-2】（24-25高一下·福建龙岩·开学考试）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域． 【变式5-3】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 知识点2 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据： ）（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 7 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 8 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 11 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 15 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 20 知识点1 函数y=Asin(ωx+φ) 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【答案】A 【解题思路】利用的图像与性质，再结合图表中的数据即可求出结果. 【解答过程】根据图像表格，易知,，又，得到， 又由图像表格及的图像与性质知，，得到. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·北京昌平·期末）某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 【答案】(1)见解析；； (2) 【解题思路】（1）根据五点法完成表格，根据五点法即可求和单调减区间； （2）由三角恒等变换得，由得，进而求得. 【解答过程】（1）由题意有： ωx+φ 0 x 0 0 0 由五点法得：，单调减区间为； （2）， 由有：， 所以当时，， 所以在上的最小值为. 【变式1-3】（24-25高一下·山东日照·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】(1)表格见解析， (2)作图见解析； (3) 【解题思路】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，所以， ， ， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 （2）由（1），在一个周期内的图象如图所示， （3）， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例2】（24-25高一下·广东清远·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解题思路】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【解答过程】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【解题思路】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【解答过程】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解题思路】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【解答过程】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【解题思路】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解答过程】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 【例3】（25-26高三上·河北·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【解答过程】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C. 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移过程写出对应解析式. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解答过程】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】D 【解题思路】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【解答过程】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【解答过程】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【解题思路】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【解答过程】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·天津河西·期中）函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①函数的图象关于点对称： ②函数的解析式可以为 ③函数在上的值域为； ④若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各结论． 【解答过程】由已知，．∴， ，又，∴， ∴． ，①错； 又，②正确； 时，，因此，③错误； 若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是，④错， 所以正确的只有一个， 故选：A． 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解答过程】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故④正确； ①：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； ②：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； ③：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【解题思路】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解答过程】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·福建龙岩·开学考试）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)，对称中心为，； (2) 【解题思路】（1）结合函数的部分图象即可求得,即可求得解析式及对称中心. （2）结合函数的伸缩偏移变换即可求得，结合三角函数的图象和性质即可求解值域. 【解答过程】（1）根据函数，，的部分图象， 可得， ，． 再由，， 故有． 根据图象可得，是的图象的一个对称中心，故函数的对称中心为，． （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的，可得的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 即， 结合，可得，故当，时，取得最大值，即； 当，时，取得最小值，即．故值域为． 【变式5-3】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【解题思路】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式； （2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案. 【解答过程】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为； 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为； 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 因为在区间上的最大值为2， 所以在区间上的最大值为1， 所以，所以，所以的最小值为. 知识点2 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【解答过程】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据： ）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，盛水筒经过秒后到水面的距离为米，表达出，，作出辅助线，得到不等式，求出，计算出答案. 【解答过程】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，故，， 故，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件依次求得，从而求得. （2）利用勾股定理，结合图象求得水下时间. 【解答过程】（1）已知水轮半径为米，水轮圆心距离水面米.根据的性质，为振幅，为平衡位置的值.则，. 因为水轮每转动圈，根据周期的定义，.又因为， 所以，此时函数为. 当时，点从水面浮现，即.将，代入中，得到. 化简可得，又因为，所以. 综上，. （2）若水面下降，则新的水面高度为， 如下图所示，则， 此时三角形是等边三角形，所以， 所以点在水面下方的时间为.    【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【解答过程】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， ， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $