7.3.1&7.3.2 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质13种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

7.3.1&7.3.2 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质 13种常见考法归类 1.周期函数 条件 ①函数f(x)的定义域为A， ②如果存在一个非零常数T， ③对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，且f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期 2.最小正周期 条件 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小的正数叫作f(x) 的最小正周期 3.正弦、余弦、正切函数的周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期 T＝ T＝ T＝ 条件 A≠0，ω>0，A，ω，φ为常数 注：若函数f(x)的周期为T，则kT，k∈N*也是f(x)的周期 4.求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值. 5.正（与）弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 6.“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 7.用三角函数图象解三角方程或不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍 8.正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 9.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 注：用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式 10.利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 11.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域). (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 12.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质 ①定义域： ②值域：R ③周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ④奇偶性：正切函数是奇函数，即 ⑤单调性：在开区间内，函数单调递增 13.正切函数的定义域、值域问题 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 14.求正切函数的单调区间 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 利用正切函数的单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大