第06讲二项分布及正态分布讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第06讲　二项分布及正态分布 【必备知识】 1、伯努利试验 (1)伯努利试验：只有两个可能结果的试验． (2)n重伯努利试验 ①定义：将一个伯努利试验独立重复进行n次所组成的随机试验． ②特征：(ⅰ)同一个伯努利试验重复做n次；(ⅱ)各次试验的结果相互独立． 2、二项分布 (1)定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (2)均值与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3、正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． (2)特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ处达到峰值． ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．997 3． (4)均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4、对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5； (2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)； (4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． 注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1. 考点18　正态分布 【常用方法】正态分布下的概率计算常见的有两类 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1 (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．　 【典例分析18】 1、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1，3)内的概率相等．若P(X＞2)＝p，则下列结论正确的有(　　) A．μ＝1 B．σ＝2 C．P(0＜X＜2)＝－p D．P(X＜－2)＝1－p 2、设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 3、某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，根据检测结果可知，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1 000名职工，则分发到的大米质量在以下的职工数大约为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 4、已知随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，若P(X<8)＝0.23，则P(X<12)＝________． 考点19　伯努利试验 【常用方法】伯努利试验求概率的方法 在伯努利试验中，同一个伯努利试验可以重复做，且各次试验的结果相互独立．在n重伯努利试验中解题时要注意事件A发生的次数，从而恰当代入公式求解．　　 【典例分析19】 1、为弘扬奋勇拼搏、自强不息的中国女排精神，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设甲班每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，则在即时比分为1∶1的条件下，甲班获得比赛胜利的概率是(　　) A． B． C． D． 考点20　二项分布 【常用方法】求解二项分布问题的“四关” (1)一是“判断关”，即判断离散型随机变量X是否服从二项分布； 二是“公式关”，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出概率P，然后利用P(X＝k)，Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，求出X取各个值时的概率； 三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列； 四是“结论关”，分别利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求期望、方差． 注