第05讲离散型随机变量的分布列及数字特征讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第05讲　离散型随机变量的分布列及数字特征 【必备知识】 1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②②pi＝p1＋p2＋…＋pn＝1.． 特别提醒：　分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率． 2．离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望) 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn D(X)＝ (xi－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均水平 刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根为随机变量X的标准差 3．常见离散型随机变量的分布列 X 0 1 P 1－p p (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 X 0 1 … m P … 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中r＝min{n，M}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列． 均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 4、牢记均值与方差的四个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．　　 考点15　离散型随机变量的分布列的性质 【常用方法】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 【典例分析15】 1．设离散型随机变量ξ的分布列如表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是(　　) A．P(ξ<3)＝ B．P(ξ>1)＝ C．P(2<ξ<4)＝ D．P(ξ<0．5)＝0 2、 (多选题)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　 　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋1)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 考点16　求离散型随机变量的分布列、期望与方差 【常用方法】 1．求离散型随机变量X的分布列的步骤 特别提醒：　①求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，注意计数原理、排列组合等知识的应用或利用概率和为1从反面入手．②对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由组合数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率． 2．期望与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算． [提醒]　求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．　 【典例分析16】 1、某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金． (1)求员工A中二等奖的概率； (2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列； (3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望． 考点17　超几何分布的求解 【常用方法】1．超几何分布的两个特点： (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数．