7.3.2离散型随机变量的方差 （导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 导学案 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 重点难点 1. 重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及其应用. 2. 难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 课前预习 自主梳理 知识点一　离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的 ，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的 ，记为σ(X)． 知识点二　离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝ ． （3）D(c)＝0(其中c为常数)． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　 　) (2) 若a是常数，则D(a)＝0.(　　) (3) 离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(　 　) (4) 若a，b为常数，则＝a.(　 ) (5) 离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.(　　) 2.（多选）下列说法中错误的是（    ） A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值 B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值 3.已知，则（    ） A．2 B． C． D． 4.随机变量的分布列是 1 2 若，则（    ） A．1 B．4 C． D． 5.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 引导语：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便. 例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征. 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征． 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 通过计算可得，，． 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平． 追问1：平均水平相同，是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢？我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢？ 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8