2024年重庆市铜梁区巴川初级中学校中考数学二轮专题复习：最值专题训练

中考最值专题训练 中考专题训练1——几何变换之瓜豆原理问题 专题内容及方法技巧 类型一：直线型路径 问题1：如图， 是直线上一动点，连接， 取中点，当点在上运动时，点轨迹是？ 揭秘：将点看成主动点，点看成从动点，当点轨迹是直线时，点轨迹也是一条直线。可以这样理解： 分别过、向作垂线，垂足分别为在运动过程中，因为，所以始终为 的一半，即点到的距离是定值，故点轨迹是一条直线，且点运动路径长为点运动路径长的一半。 问题2:如图，点为定点，点、为动点，，且为定值，当点在直线上运动，请探究点的运动轨。 揭秘：当与夹角因定，且时 ，、为轨迹是同一种图形，且。可以这样理解：易知， 则，故可知点轨迹为一条直线。 问题3:如图，点为定点，点是直线上的一动点，以为斜边作，且，当点在直线上运动，请探究点的运动轨迹。 揭秘：条件与夹角固定时，、轨迹是同一种图形，且；有故可知点轨迹为一条直线。 总结 条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量。 结论： ①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； ④当主动点、从动点到定点的距离不相等时，。 类型2：圆弧型路径 问题1：如图，是圆上一个动点，为定点，连接为 中点。 考虑：当点 在圆上运动时，点轨迹是? 【分析】观察动图可知点 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系? 考虑到点始终为中点，连接，取中点，则点即为点轨迹圆圆心，半径是 一半，任意时刻，均有。 提炼：根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系。 问题2:如图，是圆上一个动点，为定点，连接，作且。 考虑：当点 在圆上运动时， 点轨迹是? 【分析】点轨迹是个圆，可理解为将绕点逆时针旋转得，故点轨迹与点轨迹都是圆，接下来确定圆心与半径。 考虑：，可得点轨迹圆圆心 且满足； 考虑：，可得点轨迹圆圆心且满足，且可得半径。 即可确定圆位置，任意时刻均有。 问题3:如图，是直角三角形，且，当在圆运动时，点轨迹是? 【分析】考虑，可得点轨迹圆，圆心且满足；考虑，可得点轨迹为圆，圆心满足，即可确定圆 位置，任意时刻均有，且相似比为。 【模型总结】 为了便于区分动点、，可称点为“主动点”，点为“从动点”。 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(是定值); 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(是定值). 【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：； (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：， 也等于两圆半径之比； 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，与的关系相当于旋转+伸缩。 一、中考题型示例 例1：如图，正方形的边长为，为上一点，且为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 。 练习1：如图2，在矩形中，点 在上，是上的一个动点，连接， 过点作的垂线，交于点，连接，设的中点为，当 点从点运动到点时，点移动的路径的长是 。 例2：在中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接。 （1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长； （2）如图2， 的延长线交于点 点 在上，且，求证：； （3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接为直线上一动点，连接， 将沿翻折至 所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值。 二、中考达标检测 1. 如 图 ，在 中，且，为动点且，连接 ，把 绕 点顺时针旋转得，直接写出的最小值。 2. 已知，在平行四边形中，为射线上一点，连接交于点。 如 图，当点在射线上运动时，过点作于为的中点，点在边上且 ，已知，请直接写出 的最小值。 3．如图，在等边中，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中 点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积。 学科网（北京）股份有限公司 中考专题训练2——几何变换之费马点 专题内容及方法技巧 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考