1.4 点到直线的距离-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.4 点到直线的距离 第1章 坐标平面上的直线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 直线的概念 直线的方向向量 直线的倾斜角与斜率 01 03 02 CONTANTS 目 录 点到直线的距离 01 复习巩固 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： 新知导入 如图所示，渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？ 建模 回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？ 提示： 直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 如图，点A到直线l的距离是AC. 思考： 给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？ 探究 如图 已知点，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？ 方法一：（坐标法）利用两点间的距离公式 如图： 设，. 由 ,直线l 的斜率为， 可得l 的垂线段PQ的斜率为 ， 因此，PQ的方程为： 即 . 解方程组 ① 即垂足Q的坐标为 于是 因此，点到直线 l ：Ax + By + C=0的距离 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立. 方法二：用设而不求法推导 在上述方法中，若设垂足Q的坐标为（x, y），则 ② 对于②式，你能给出它的几何意义吗？ 结合方程组① 能否直接求出，进而求出呢？ 请你试一试！ 方法二：用设而不求法推导 ① ② 提示： 由方程组 得 将(1)(2)两边平方后相加，得 所以 所以 可以验证，当A=0，或B=0时，公式仍然成立. 方法三：向量法 如图, 点P到直线 l 的距离，就是向量的模. 设M（x, y）是直线 l 上的任意一点，是与直线 l 的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量 下面，利用直线 l 的方程得到与 l 的方向向量垂直的单位向量 方法三：向量法 设是直线 l ：Ax + By + C=0上的任意两点， 则是直线 l 的方向向量. , 两式相减, 得 . 因为，向量（A，B）与向量垂直. 向量 是与直线l 的方程向量垂直的一个单位向量. 取 , 从而, 方法三：向量法 因为M（x, y）在直线 l 上，所以 Ax + By + C=0, 所以 Ax + By =-C 得 因此, 方法四：用三角形面积公式推导 如图 提示： 当A、B 时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线， 分别交直线 Ax + By + C=0 于点 则 总结： 已知一个定点，一条直线 l ：Ax +By + C=0，则定点P到这条直线 l 的距离为 ①分子是P点代入直线方程； ②分母是直线未知数x, y系数平方和的算术跟； ③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式； ④当点在直线上时，点到该直线的距离为0，公式仍然适用。 ⑤直线方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解. 两平行线间的距离 02 两平行线间的距离公式： (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间 的距离 （3）推导：即点P到直线l2的距离 因点P在直线l1上，所以Ax1＋By1＋C1＝0，即Ax1＋By1=-C1 ，代入即证。 注意：两直线方程中x,y的系数对应相等 例2 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 例3 直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程． 注意：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式， 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [跟踪训练]2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程． [解]　设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离为3，解得b＝45或b＝－33.所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0. (2)若l1，l2的斜率不存在，则l1：x＝0，l2：x＝5满足条件． 综上，l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 距离公式的综合应用 例4 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 课堂练习 感谢观看 答案：A　 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于 (　　)