1.2 直线的方程-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 第1章 坐标平面上的直线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 曲线的方程 直线的斜截式方程 直线的点斜式方程 01 03 02 CONTANTS 目 录 04 直线的两点式方程 03 05 直线的一般式方程 直线的点法式方程 曲线的方程 01 曲线的方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上，且满足f(x0，y0)=0．反之亦然． 由于曲线与方程之间具有这样的对应关系，因此我们可以用代数的方法来研究几何问题． 例题1 判断点A(-3，7)和B(8，-6)是否在曲线x2+y2=100上． 解 把点A的坐标代入所给方程，得 (-3)2+72=58≠100， 这就是说，点A的坐标不满足所给方程，所以点A(-3，7)不在曲线x2+y2=100上； 把点B的坐标代入所给方程，得 82+(-6)2=100， 这就是说，点B的坐标满足所给方程，所以点B(8，-6)在曲线x2+y2=100上． 例题2 下面我们讨论根据条件求曲线的方程． 设A，B两点的坐标是A(-2，6)，B(4，2)，求线段AB的垂直平分线的方程． 解 设M(x，y)是线段AB的垂直平分线上任意一点(如图2-25所示)，依题意得 ｜MA｜=｜MB｜， 根据两点间的距离公式，得 化简，得 3x-2y+5=0． 可以证明以方程的解为坐标的点都在线段AB的垂直平分线上(证明过程略)． 由上面例子可以看出，由已知条件求曲线方程的一般步骤如下： (1)建立适当的直角坐标系，并设M(x，y)为曲线上任意点(动点)； (2)根据已知条件写出动点所满足的等量关系式； (3)用动点的坐标x和y(流动坐标)之间的关系式表示上述条件，即得方程； (4)将方程化简； (5)证明化简后的方程为曲线的方程． 例题3 两个定点A，B之间距离为2r，动点M与A，B两点的连线段互相垂直，求动点M的轨迹方程． 解 取点A，B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系(如图)，则A点坐标为(-r，0)，B点坐标为(r，0)． 设动点M的坐标为(x，y)，由题意知MA⊥MB，即△ABC是直角三角形．由勾股定理，得 ｜MA｜2+｜MB｜2=｜AB｜2. 由两点间的距离公式，得 化简得动点M的轨迹方程为 x2+y2=r2(x≠±r)． 做一做 1. 动点M到点(2，4)的连线的斜率等于它到点(-2，4)的连线的斜率加4，求动点M的轨迹方程． 2. 两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 直线的点斜式方程 02 问题1 直线的斜率的计算公式是什么？ 直线的斜率公式 (1)定义式：若直线 l 的倾斜角 ，则斜率k＝tan_α. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且x1≠x2，则 l 的斜率 问题2 两条不重合的直线斜率都存在，如何用直线的斜率判定两直线平行与垂直？ （ 且 ） 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线. 这样，在平面直角坐标系中，给定一个点 和斜率k （或倾斜角），就能唯一确定一条直线. 也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x, y）与点 和斜率 k 之间的关系是完全确定的。那么，这一关系如何表示呢？ 下面我们就来研究这个问题。 如图 直线l 经过点 且斜率为k . 设P（x, y）是直线 l 上不同于点 的任意一点，由斜率公式得 即 由上述推导过程可知：  （1） 直线 l 上的每一个点的坐标（x, y）都满足关系式 （2） 坐标满足关系式 的每一个点都在过点，斜率为k直线 l上. 由（1）（2）可得，坐标满足关系