1.1 直线的倾斜角与斜率-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.1直线的倾斜角与斜率 第1章 坐标平面上的直线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 直线的概念 直线的方向向量 直线的倾斜角与斜率 01 03 02 CONTANTS 目 录 直线的概念 01 在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法。 但是在现实的生产、生活中，很多时候需要精确的代数刻画，本章开始，我们采用新的研究方法——坐标法，研究几何图形的性质。坐标法是解析几何中最基本的研究方法。通过本章的学习，大家慢慢体会坐标法的研究特点及优点。 本节，我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来。 今天，我们先来学习直线的倾斜角与斜率。 直线倾斜角的概念 确定一条直线的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。 设A，B为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线. 思考1： 确定一条直线的几何要素是什么？ 在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线（下图所示），它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？  规定：在平面直角坐标系中，水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。 这些直线的区别是它们的方向不同，如何表示这些直线的方向？ 我们看到，这些直线相对于 x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与 x 轴所成的角不同。因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。 思考2：对于平面直角坐标系中的一条直线 l ,如何利用坐标系确定它的位置？ 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。 直线的倾斜角与斜率 02 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。 直线的倾斜角 ②范围：0°≤α<180° 当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0° ③方向相同的直线，倾斜角相同 问题1：因为两点可确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，直线l的倾斜角α与P1，P2两点的坐标有什么联系？ 直线的斜率—倾斜角的正切值 把一条直线的倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，常用k表示. α的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 时,斜率越大,倾斜角越大; 时,斜率越大,倾斜角越大. 问题2：直线的倾斜角越大,斜率越大? 斜率范围：（-∞，+∞） 12 辨析1：判断正误. (1)倾斜角为的直线的斜率为1.（ ） (2)直线斜率的取值范围是.（ ） 【答案】 ×,√. 辨析2：如图所示， 直线的倾斜角为（ ）. . . . .不存在 【答案】 . 例1：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 练习1-1：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）. A. B. C. D.或 【答案】 练习1-2：若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】 练习2-1：已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）. . . . . 【答案】 练习2-2：设，，，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数的值为_____________. 【答案】 直线的方向向量 03 直线的斜率——两点坐标 例2 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值. 变式 已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 是直线l的一个方向向量, 即 又 ∴直线l的倾斜角为 ，斜率为 解: 19 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，