湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第五次月考（12月）数学试卷

衡阳市八中2024届高三第五次月考 数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟； 命题人：刘 喜 审题人：刘美容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。 1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 2．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C．D． 3．已知圆为的外接圆，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（　　） A．至少与、中的一条相交 B．至多与、中的一条相交 C．与、都相交 D．与、都不相交 5．已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 7．已知是定义在上的单调函数，满足，且.若，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 10．中，内角A，B的对边分别为a，b，则下列能成为“”的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 11．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数图象的一个对称轴 D．的图象关于点对称 12．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（    ） A．甲从必须经过到达的方法数共有9种 B．甲从到的方法数共有180种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．二项式的展开式的中间项系数为 _____． 14．记函数在处的导数为，则 ． 15．设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为 ． 16．已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是 ． ①； ②； ③存在x，y，使得； ④当取最小值时，． 4、 解答题：本题共6小题，共70分。 17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值. 18．（12分）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 19．（12分）某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为． (1)求小明恰好套中2次的概率； (2)求的分布列及数学期望． 20．（12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且． (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的大小． 21．（12分）已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 22．（12分）设． (1)讨论的单调性； (2)设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A B D A C C A D BC ABC ACD ACD 6．C【详解】对于①：设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。