3.2组合数及其性质课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

计数原理 §3.2 组合数及其性质 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 组合 一般地，从n个不同元素中，任取m（m ≤ n，且m，n∈N+）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）． 都是从不同元素中取. 两个排列相同 ①元素完全相同 ②元素的排列顺序也相同 排列需要考虑顺序，组合不需要考虑顺序. 相同点： 不同点： 两个组合相同 元素完全相同 什么叫组合？ 组合与排列有哪些异同点？ 2 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 你能类比排列数的概念，给出组合数的概念吗？ 排列数 从n个不同元素中取出m (m≤n，且m，n) 个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作． 组合数 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 3 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 你能类比排列数的概念给出组合数的概念吗？ 组合数 组合数：从n个不同元素中取出m（m ≤ n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 从4个不同元素中取出3个元素的组合数如何表示？ 表示为； 前面我们是如何求一个组合问题的所有组合个数的？ ①枚举 ②分步乘法计数原理借助排列数进行计算. （元素个数较少时适用） 4 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 组合数 组合数：从n个不同元素中取出m（m ≤ n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 能否用分步计数法的角度来分解排列数的计算步骤来得到组合数？ 分步 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法. 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有 ， 即 5 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 组合数 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 依据求组合数的方法，如何求组合数？ 分步 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有 即 组合数公式 ： ， 6 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 组合数 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 结合排列数公式，上述组合数公式还能写出怎样的形式？ 答：将代入得， 规定： 7 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 （3） （4） 计算： （1） （2） （1） （2） （3） （4） 解：根据组合数公式，可得 你能完成上述计算吗？ 观察运算结果，你有什么样的发现？ 据此猜想，组合数有怎样的性质？ 猜想 8 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 （3） （4） 计算： （1） （2） 你能完成上述计算吗？ 观察运算结果，你有什么样的发现？ 据此猜想，组合数有怎样的性质？ 能尝试进行证明这个性质吗？ 答： 性质1： 根据这个性质，在计算组合数时你对公式的选择有什么想法？ 大于时运用性质1能减少运算量. 9 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数？ 从10人中选出6人参加比赛： 性质1： 从10人中选出4人不参加比赛： “从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”含义相同： 结合例2 你能给出性质1所包含的意义吗？ “从个元素中选出个元素” 等价于 “从个元素中不选剩余的个元素”. 10 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 从高二（4）班第一数学小组6人中选出3人去参加爱心义卖活动. （1）共有多少种选择方案？ （2）组长李丽被选中的选择方案有几种？ （3）组长李丽没被选中的选择方案有几种？ 解（1）共有（种）； （2）李丽被选中有（种）； （3）李丽没被选中的选择方案有（种）； 结合三个问题的结论，你有怎样的发现？ 分类 第1类，李丽被选中； 第2类，李丽没被选中. 问题（1）可分类为： 即 11 新课导入 新知探究 知识应用 课堂小结 布置作业 从高二（4）班第一数学小组6人中选出3人去参加爱心义卖活动. （1）共有多少种选择方案？ （2）组长李丽被选中的选择方案有几种？ （3）组长李丽没被选中的选择方案有几种？ 把上述问题改为n人中选出m人，你能根