3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 组合数及其性质教案 教材分析 本节课选自第五章《计数原理》,本节课主本节课主要学习组合数及其性质。 组合数是在学习了两个计数原理基础上,将实际问题中抽象的对象抽象为元素,引入组合的概念,然后用字母表示组合数。并给出计算组合数的公式。在此过程中,体现将分类,分步计数表示为组合数的数学模型,以及通过组合数公式求出计数结果的数学运算。 排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用,排列组合与前后知识有着紧密的联系,排列组合可用于解决古典概型问题,在下一节中,二项式系数就是组合数,在后续学习中还可以看到它们与概率密不可分。根据上述分析,教学的重点是利用计数原理及排列数公式推导组合数公式,注意区分排列与组合的区别,难点是运用组合解决实际问题。 学情分析 本课时教学中,与推导排列数公式不同,推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况,还要研究组合与排列的关系,通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式。学生对此的理解会有一定的困难,教学中应该紧扣实例,引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题,发现排列可以分为“先取元素分组,再对组中元素作全排列”两个步骤,从而得到“从 n个元素中取出m个元素的排列数”等于“从n个元素中取出m个元素的取法数”与“将取出的m个元素作全排列的排法数”的乘积,并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释. 教学目标 基础性目标: 理解并掌握组合数的概念及其性质,掌握组合与排列之间的联系与区别.发展学生数学推理素养。 拓展性目标: 熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中。发展学生数学运算素养。 挑战性目标: 能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.发展学生数学建模素养。 教学重难点 重点:组合数公式。 难点:推导和应用组合数公式。 教学过程 一、复习导入 问题1:什么叫组合?组合与排列有哪些异同点? ①概念: 排列需要考虑顺序,组合不需要考虑顺序. 都是从不同元素中取. 一般地,从n个不同元素中,任取m(m ≤ n,且m,n∈N+)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②相同点: 不同点: ②元素的排列顺序也相同 ①元素完全相同 两个排列相同的要求是: 元素完全相同 两个组合相同的要求是: 问题2:1)你能类比排列数的概念给出组合数的概念吗? 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. 排列数 我们把从n个不同元素中取出m (m≤n,且m,n) 个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作. 组合数 问题2:2)从4个不同元素中取出3个元素的组合数如何表示? 表示为; 问题2:3)前面我们是如何求一个组合问题的所有组合个数的? ①枚举(元素个数较少时适用) ②分步乘法计数原理借助排列数进行计算. 问题2:4)能否用分布计数法的角度来分解排列数的计算步骤来得到组合数? 分步 第1步,从4个元素中取出3个元素作为一组,共有种不同的取法. 第2步,将取出的3个元素作全排列,共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理,有 , 即 问题2:5)依据求组合数的方法,如何求组合数? 分步 第1步,从n个不同元素中取出m个元素作为一组,共有种不同的取法; 第2步,将取出的m个元素作全排列,共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理,有 即 组合数公式 : , 问题2:6)结合排列数公式,上述组合数公式还能写出怎样的形式? 答:将代入得, 规定: 二、新课探究 大于时运用性质1能减少运算量. 答: 猜想 (3) (4) 计算: (1) (2) 你能完成上述计算吗? 观察运算结果,你有什么样的发现? 据此猜想,组合数有怎样的性质? 根据这个性质,在计算组合数时你对公式的选择有什么想法? 能尝试进行证明这个性质吗? 解:根据组合数公式,可得 (1) (2) (3) (4) 性质1: 分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数? 从10人中选出6人参加比赛: 从10人中选出4人不参加比赛: “从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”含义相同: “从个元素中选出个元素” 等价于 “从个元素中不选剩余的个元素”. 结合例2 你能给出性质1所包含的意义吗? 从高二(4)班第一数学小组6人中选出3人去参加爱心义卖活动. (1)共有多少种选择方案? (2)组长李丽被选中的选择方案有几种? (3)组长李丽没被选中的选择方案有几种? 解(1)共有(种); (2)李丽被选中有(种); (3)李丽没被选中的选择方案有(种); 结合三个问题的结论,你有怎样