2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学 试卷

绝密 ⋆ 启用前 2023 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三） 数学试卷 本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知向量 a = (1, 1)，b = (1,−1)，则 a 与 b 的夹角为 A. π 4 B. π 3 C. π 2 D. π 2. 若集合 M = {−1, 0, 2, 3}，N = {x | ln(x+ 1) ⩽ 1}，则 M ∩N 的子集个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 二项式 (x+ √ x)4 的展开式中，x3 的系数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 圆梦杯第二届考试中，有 2 3 考生的成绩超过 70 分，有 1 6 考生的成绩超过 100 分，若某考生 的成绩超过 70 分，则该考生的成绩超过 100 分的概率为 A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 5. 已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，高为 2，则该圆台的侧面积为 A. √ 5π B. 2 √ 5π C. 3 √ 5π D. 4 √ 5π 试题卷 第 1 页（共 4 页） 6. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S5 > 5，命题 p：“S10 > 10”，命题 q：“d > 0”， 则命题 p 是命题 q 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数 f(x) = ex + ax2 单调递增，则 a 的取值范围为 A. [−e, 0] B. [ −e 2 , 0 ] C. [ −e 2 , 1 ] D. [1,+∞) 8. 我国在 2022 年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可 以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上. 已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地 距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值） 扩大为变轨前的 3 倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的 2 倍，则此次变轨任务前的椭圆轨 道的离心率为 A. 1 3 B. √ 2− 1 2 C. √ 3− 1 2 D. √ 3− 1 3 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则 A. 若 m//α，m⊥β，则 α⊥β B. 若 m ⊂ α，n ̸⊂ α，则 m 与 n 为异面直线 C. 若 m//n，n//α，则 m//α D. 若 m⊥α，n//α，则 m⊥n 10. 若 0 < α < β < π 2 ，且 cosα cos β = 1 2 ，tanα tan β = 2 3 ，则 A. cos(α + β) = 1 6 B. sin(α− β) = √ 11 6 C. cos 2α = 5 36 D. β > π 4 11. 已知双曲线 C : x 2 3 − y2 = 1 的右焦点为 F，动点 M，N 在直线 l : x = 3 2 上，且 FM⊥FN， 线段 FM，FN 分别交 C 于 P，Q 两点，过 P 作 l 的垂线，垂足为 R. 设 △FMN 的面积 为 S1，△FPQ 的面积为 S2，则 A. S1 ⩾ 1 2 B. |PR| |PF | = √ 3 2 C. |MP | · |NF | |MN | · |PF | 恒为定值 D. S1 S2 的最小值为 2 √ 6 12. 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1 = 1，an+1(an + 1) = 2an + 1，则 A. ß 1 an ™ 为等差数列 B. an < an+1 C. an + an+2 < 2an+1 D. SnSn+2 < S2n+1 试题卷 第 2 页（共 4 页） 三、填