专题十九 整式乘法公式的灵活应用（19）2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十九 整式乘法公式的灵活应用 整式乘法公式是解题的重要依据，它可以正用，也可以逆用，变用，递进式的用，还可以与其他公式综合起来用，也可以与几何图形结合用，公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,下面就灵活应用乘法公式进行归类探讨。 类型一、正用 直接应用公式进行运算 【例1-1】运用完全平方公式计算：___________. 【例1-2】填空：；；_______； 发现：两个连续正偶数的平方差一定能被4整除； 论证：设“发现”中的两个正偶数中较小的为（n为正整数），请论证“发现”中的结论； 应用：请将36表示成两个连续正偶数的平方差. 【例1-3】先化简再求值：，其中，. 【例1-4】（1）计算：； （2）雯雯在计算时，解答过程如下： …………第一步 …………第二步 …………第三步 雯雯的解答从第______步开始出错，请写出正确的解题过程. 针对练习1 1、已知，，则的值为( ) A. B. C.2 D.4 2、若，则( ) A.12 B.10 C.8 D.6 3、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.其中自己负责的一步出现错误的是( ) A.只有甲 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 5、计算：__________. 类型二、公式的推广用 (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)2-c2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 【例2-1】试说明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方． 【例2-2】计算： 针对练习2 1．计算： . 2． 3．已知求a的值. 类型三、公式的反用 【例3-1】阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵，∴ ∴，∴，∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求a，b的值 (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足．求的周长． 【例3-2】已知，，则 ． 针对练习3 1．已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知，那么 ． 3 .已知，满足，则 ． 4 .〖我阅读〗阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4． 〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答． (1)直接写出代数式的最小值． (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 类型四、公式的变用 公式变形 ①（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）； ②（a＋b）2－（a－b）2＝4ab； ③ a2＋b2＝（a＋b）2－2ab； ④ a2＋b2＝（a－b）2＋2ab； ⑤（a－b）2＝（a＋b）2－4ab； ⑥（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab． 添括号法则： a＋b－c＝a＋（b－c），a－b＋c＝a－（b－c）． 【例4-1】已知,,则 ． 【例4-2】已知，则 ． 【例4-3】完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)①若，，则　　； ②若，，则　　． (2)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是和，且，如果这两个正方形的面积和，求的面积． 【例4-4】已知，求的值． 针对练习4 1．的计算结果的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．已知，那么的值为（    ） A．4046 B．2023 C．4042 D．4043 3．已知对任意实数x，y，定义运算：，则的值为 4．已知，则 5．已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则的值为 ． 6．已知，，求的值为 ． 类型五、公式与几何图形结合 （a＋b）（a－b）＝a2－b2． 如图1，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，如图2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2． 【例5-1】．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【例5-2】若x满足，求的值．