专题01 实数及其运算（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题01 实数及其运算 考点类型 知识一遍过 （一）实数的分类 （1）实数分类 （2）无理数的几种常见类型 ①开方开不尽的数，如，等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数； （二）实数的相关概念 （1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 （2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 （3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 （4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应． ②数轴上a，b两点之间的距离= （三）科学计数法 （1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数 （2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （四）实数的大小比较 有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， ， ， （3）求商比较法：设a、b是两正实数， （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 （五）开方运算 （1）平方根、算数平方根： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （2）立方根： 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 （六）实数运算 常考的运算法则： （1）乘方：（-2）3=-8 （2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1） （3）零次幂：a0=1（a≠0） （4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数） （5）绝对值运算： （6）特殊角的三角函数：sin30°=等 实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． 运算律： （1）加法交换律：a+b=b+a． （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． （3）乘法交换律：ab=ba． （4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）． （5）分配律：a（b+c）=ab+ac． 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：（22·23下·长沙·模拟预测）在实数，0，1，中，为负数的是（　　） A． B．0 C．1 D． 【变式1】（22·23下·温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）    A．； B．； C．； D．； 【变式2】（22·23下·金华·三模）在实数，，，中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22·23下·长沙·模拟预测）实数，，0，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点2：数轴的相关计算 典例2：（22·23下·朔州·模拟预测）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（22·23下·安徽·二模）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．2 B． C．6 D．或2 【变式2】（22·23下·西城·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则a，，，中最大的是(　　)    A．a B． C． D． 【变式3】（22·23上·昆明·期中）已知数的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．