专题66 用样本估计总体-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题66 用样本估计总体 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：百分位数的估计 题型二：众数 题型三：中位数 题型四：平均数 题型五：方差、标准差及极差对数据的影响 题型六：频率分布直方图中的方差、标准差 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度. 【考点预测】 1.总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 【常用结论】 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 【方法技巧】 1.计算一组数据的第p百分位数的步骤 2.众数、中位数、平均数的应用要点 中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用. 3.频率分布直方图的数字特征 ①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标； ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和. 4.标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小. 二、【题型归类】 【题型一】百分位数的估计 【典例1】（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【典例2】（多选）（2023·广西·统考模拟预测）某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（    ） A． B． C．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70 D．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85 【典例3】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知按从小到大顺序排列的两组数据： 甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52． 若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则a，b的平均数等于 ． 【题型二】众数 【典例1】（2023·上海普陀·统考一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【典例2】（多选）（2