4.3.1等比数列的概念第1课时教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念（第1课时）教学设计 课程地位 本节课是人教A版（2019）数学选择性必修第二册第四章第三节的内容。本节是在学习了等差数列之后的另一重要数列的第一节课，在已有的等差数列知识学习的基础上，类比归纳学习等比数列。等比数列不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导和运用过程中蕴涵的类比和知三求一的方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养. 教学目标 通过实例，类比归纳等比数列的概念；掌握等比中项的概念并应用；掌握等比数列的通项公式和其推导过程；能够灵活应用等比数列通项公式、等比中项解决问题。在教学过程中体现数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。 教学重点、难点 1．教学重点 等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式 。 2．教学难点 等比数列相关概念的生成和推导。 教学过程 一、创设情境，引入课题 问题1：前面我们学习了等差数列，我们是怎样去研究等差数列的？研究了等差数列的什么知识？ 【师生活动】 学生思考、回忆研究等差数列的过程，教师提醒补充． 【设计意图】意在引导学生熟悉知识的生成过程和具体需要研究一类有规律数列的方法过程，为下面研究等比数列相关知识打下脉络基础． 二 、观察分析，感知概念 问题2： “请观察下面几个问题中的数列”，你发现了什么规律？ 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始各次分裂产生的后代个数依次是： ⑤ 追问：（1）从上述数列的生成过程，能得到什么规律？ （2）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？可以用符号语言表示吗？ 【师生活动】 学生独立观察，充分思考，交流讨论．根据学生交流讨论情况，教师可以适时地进行追问．教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，给出等比数列的定义． 【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念。让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机． 三、抽象概括，形成概念 请同学们结合上述实例子的运算特点和等差数列的定义总结等比数列的定义。 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然)． 符号语言：（，） 例1．由等比数列的定义，判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比. (1) 64，32，16，8，4，… (2) 1，-3，9，-27，81，… (3) 0，1，0，1； (4) -5，-5，-5，-5，-5，… 追问：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么关系？（4）题除了是等比数列还是什么数列？ 【师生活动】请学生根据所学的等比数列的概念判断数列是否为等比数列． 【设计意图】进一步巩固等比数列的概念，并提出需要注意的问题． 问题4：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 如果在与中间插入一个数 ，使，，成等比数列，那么叫做，的等比中项． 追问：（1）类比等差中项，能够得到，，三者之间的关系吗？ （2）在中，，要满足什么条件？ 【师生活动】 ；根据学生探究的情况，教师引导，帮助学生建立等比中项的定义． 【设计意图】通过类比等差数列的相关知识，进一步解析等比数列。 例2：能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字. （1） 2， ，8 （2）-3， ，3 （3） -3， ，-3 （4）1， ，9，-27 注意：(1) 若实数a、c有等比中项，则该等比中项必有两个; (2)若实数a、c有等比中项，则a、c符号相同； (3)等比数列奇数项的符号相同，偶数项的符号相同. 【师生活动】请学生根据等比中项的概念填空． 【设计意图】进一步巩固等比中项的概念和辨析易错点 四、辨析理解 深化概念 问题5：类比等差数列的通