4.3.1 等比数列的概念 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 《等比数列的概念》教学设计 【课标要求】 1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 3. 体会等比数列与指数函数的关系. 【教材分析】 本节课是人教A版选择性必修第二册第四章数列第三节等比数列《4.3.1 等比数列的概念》的内容.本节是数列这一章的一个重要内容.对于等比数列的研究源于现实生产，生活的需要.例如：生物学上的细胞分裂个数问题、生物体死亡后碳14的衰退问题、日常生活中的银行存款、贷款问题等.通过数学抽象将实际问题转化为等比数列的知识，并运用等比数列的相关知识进行数学运算、逻辑推理等，最终达到解决实际问题的目的，从中感受数学模型的现实意义与应用，发展学生今后学习和工作中必备的数学素养.同时，数列是刻画离散现象的函数，作为重要的数学模型，具有承上启下的作用.数列的教学内容及过程为学生核心素养发展提供生长点，培养学生的数学思维. 【学情分析】 前面已经安排了等差数列的有关知识以及等比数列的概念的学习，但是学生对于实际问题的解决还存在疑惑，本节课从此入手，引发学生的认知冲突，产生求知欲望.根据实际问题构造数列需要学生有较强的问题分析能力和数学建模能力，这正是学生所欠缺的，教学中一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养. 对于例4和例5学生愿意积极参与、积极思考、表现自我，所以老师把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心、学习热情等到了很好的培养，体现了教学中的学生主体地位. 【学习目标】 1. 能根据具体实例，抽象出等比数列模型，能利用等比数列的通项公式解决实际问题，发展数学抽象、数学建模素养. 2. 通过解决具体问题，能根据定义证明数列是等比（差）数列，并发现等差数列与等比数列间的联系，体会特殊到一般、类比的数学思想，发展逻辑推理、数学运算素养. 3. 能在较复杂的问题情境中,通过数值及图象，能发现等差数列、等比数列构造的新数列的性质，解决实际问题，发展数学建模和运算素养. 重点、难点 1. 学习重点：等比数列的概念和通项公式的简单应用. 2. 学习难点：从具体问题情境中抽象出数学模型；对用等差、等比数列构造的数列的性质的探究. 【评价任务】 1. 完成问题1、例4，检测目标1是否达成. 2. 完成例5、问题2、问题3，检测目标2是否达成. 3. 完成例6，检测目标3是否达成. 【教学过程】 1、利用等比数列的通项公式解决实际问题 例4 用 10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列. 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列， 首项，公比， 所以. 所以，12个月后的利息为（元）. （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列， 首项 ，公比为， 于是 . 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 师生活动：让学生认真读题、审题，说出大致解题思路，教师完善． 设计意图：在本例中,成等比关系的量就是100000元存n个月以后的本利和.但要准确确定这个量，还需要学生能够理解例4的实际情境,即要弄清什么是“复利计息”,“利息”指的是什么.教学时可利用电子表格，让学生直观观察数列的变化趋势，在用数学符号表达规律时要加强评价和示范,培养学生数学阅读理解能力和数学表达能力，提升学生的数学运算禾和数学建模素养.信息技术工具的使用可以促进学生形成数据处理工具的使用意识，发展数据分析素养， 2、利用定义证明等差数列、等比数列 ，并探究归纳性质 例5. 已知数列的首项. （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明. 证明（1）：由，，得的通项公式为. 设，则 ： ，又 , 所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列. （2）：由, ,得 两边取以3为底的对数，得 所以 . 又 ， 所以，是首项为1，公差为的等差数列. 问题2：（1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 证明： 设计意图：本题的主要意图是进一步学习如何运用定义证明或判断一个数列为等差或等比数列，渗透从特殊到一般的数学思想.通过问题2探究与等比、等差数列相关的性质，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系．提升学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 3、根据实际问题构建数列，并发现解决数列问题的一般途径 例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知 ， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 （ ） 由计算工具计算（精确到0.1），并列表 n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可. 由 ， 得. 所以，当时，递减 又 <100, 所以当24时, <100 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 师生活动：与学生一起分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.教师完善解题过程． 设计意图：通过该题，加深学生对等比数列的综合运用能力．发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．对于由等差和等比数列通过运算组合出来的新数列，学生缺乏相关的方法储备，教师应充分启发引导学生通过“求通项一用电子表格求出若干项一发现规律一证明结论”的途径进行解决.通过本例的教学可以让学生体会到，对于数列问题，一般，从它的通项出发进行研究,对于一个“陌生”数列(非等差或等比数列)的通项公式,往往可以从数值、图象上寻找规律，然后通过运算、论证获得解答. 方法总结：通常利用相邻项的大小比较得出数列的单调性．而数列两项大小比较可用作差法也可用作商法． 4、达标检测 1、在等比数列，， ，则等于________． 2、在正项等比数列中，， 则 3、某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）? 4、某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01)? 5、课堂小结 本节课你学到了哪些知识，涉及到了哪些思想方法？ 1．知识清单： (1)等比数列的实际应用． (2)等比数列的常用性质． (3)等比数列的判定和证明． 2．方法归纳：从特殊到一般、抽象概括、类比、数形结合等的数学思想． 6、作业布置 A组：课本34页练习第2、3、5题. B组：课本41页习题4.3第4题. 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养． 7、学后反思： 本节课学习了数列的哪些性质？你有哪些困惑？ 4. 3.1等比数列的概念（2） 一、探索新知 二、初步应用 例4：实际问题—>数学模型 例5(1) 例5(2) 例5： 是等差数列，是等比数列 (>0)等比数列，是等差数列 例6:不合格品的数量 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$