导数的综合应用——利用导数解决含绝对值的参数取值范围问题专题训练-2024届高三数学一轮复习

导数的综合应用——利用导数解决含绝对值的参数取值范围问题集锦 2024届高考数学复习专题 ★★ 【题目】已知函数，对于内的任意两个相异实数，恒有，则实数的取值范围是 ▲ ． 【变式题1】函数 求函数的极值； 若，对于任意，，，且，都有，求实数的取值范围． 【变式题2】已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设，如果对任意，，求实数的取值范围. 【变式题3】已知函数， （1）求函数在上的最小值； （2）若对任意的，且恒成立，求实数的取值范围. 【变式题4】已知函数，，． （1）曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）若对任意的、，，恒成立，求的最小值． 【题目】已知函数，对于内的任意两个相异实数，恒有，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】 【解析】∵，∴，又∵，∴， ∴函数在上是增函数，不妨设，得， 又∵，∴，即， 令，得， 当，有，即，于是 函数在上是增函数，得对恒成立，即对恒成立，于是，故实数的取值范围是. 【变式题1】函数 求函数的极值； 若，对于任意，，，且，都有，求实数的取值范围． 【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究函数的极值 【专题】53：导数的综合应用；15：综合题 【分析】求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数的极值； ，即，设，则，等价于函数在区间，上是减函数，求导函数，即使在，上恒成立，然后利用分离法将分离出来，从而求出的范围． 【解答】解：由题意，，． 若时，恒成立，所以函数在上是增函数，函数不存在极值； 当时，时，，函数在上是增函数；时，，所以函数在上是减函数， 时，函数有极小值（a）； 当时，由知函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数 不妨设，则， ，即 设， 则，等价于函数在区间，上是减函数 ，在，上恒成立， 即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值． 而函数在，是增函数，的最大值为 ，又，，． 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题． 【变式题2】已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设，如果对任意，，求实数的取值范围. 【分析】第一小问，函数的表达式中既有与幂函数有关的表达式，也有与对数函数有关的表达式，求解时利用导数知识求解.同时，题目中含有参数，求解时注意对参数的讨论.第二小问结合第一小问的结论，并构造新的函数，转化为恒成立问题求解. 【解析】（1）∵，∴， 当时，，函数在上是增函数， 时，令，得，当时，，函数在上是增函数，当时，，函数在上是减函数， 当时，，函数在上是减函数. （2）∵当时，函数在上是减函数， ∴不妨设，得，由，得 ，即， 令，得函数在上是减函数， 即对恒成立， 于是对恒成立， 即对恒成立， 于是，解得.故实数的取值范围是. 【变式题3】已知函数， （1）求函数在上的最小值； （2）若对任意的，且恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵，∴，∴ 极小 ∴. 于是函数在上的最小值为. （2）∵，∴，∴ ， 令，得，于是函数在上是增函数， ∴不妨设，得，于是， 故. 【变式题4】已知函数，，． （1）曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）若对任意的、，，恒成立，求的最小值． 【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用 【分析】（1）求出的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程可得，即可解得； （2）当时，在，上恒成立，可得函数在，上单调递增．设，同理利用在，上恒成立，可得在，上为增函数．不妨设，则恒成立恒成立，即在，上恒成立．设．则在，上为减函数．分离参数利用导数进一步研究即可得出． 【解答】解：（1）的导数为， 曲线在处的切线斜率为， 由于切线与直线平行，即有，解得； （2）当时，在，上恒成立， 函数在，上单调递增． 设，在，上恒成立， 在，上为增函数． 不妨设，则恒成立 恒成立，即在，上恒成立． 设．则在，上为减函数． 在，上恒成立，化为恒成立． 设，，，．，，． 在，上恒成立，即为减函数． 在，上的最大值为（3）． ，的最小值为． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和判断单调性，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，掌握构造函数的方法，属于中档题和易错题． 学科网（北京）股份有限公司 $$