精品解析：北京市顺义区杨镇第一中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

杨镇一中高三数学2023-2024学年12月阶段检测 （总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设平面向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 1792 B. －1792 C. 1120 D. －1120 5. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 7. 在中，若，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在中，．P为边上动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设，均为锐角，则“”是“”（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_____________． 12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________． 13. 设为抛物线的焦点，点A在上，点，则的坐标为______；若，则______. 14. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为0； ②当时，不存在最小值； ③零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，，． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：函数在区间上是增函数； 条件②：； 条件③：. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下： 教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96 学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96 根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率． （1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）； （2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； （3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率． 18. 如图，在三棱锥中，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论单调性； （3）当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围. 21. 数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等． （1）若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 （2）记，若，证明：； （3）若，求n的最小值．