云南省曲靖市第一中学2023-2024学年高三上学期教学质量监测（五）（12月）数学试题

曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则a的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 2 2. 已知，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差数列，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，及，若，均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 周期为2 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，都是正数，且，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 已知抛物线，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，直线l的斜率为 C. GF始终平分 D. 11. 已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（ ）． A. ， B. 在上单调递增 C. 是的一条对称轴 D. 是曲线的一条切线 12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台．如图所示，过作底面的垂线，垂足为G．记，，，面与面所成角为，面与面所成角为x，，，，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. C. D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，则__________． 14. 已知等差数列中，，．记，则数列中的最小项为__________． 15. 若函数的图象在内恰好有两条对称轴，则实数的值可以是__________（写出一个满足题意的即可）． 16. 已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知在中，，，． （1）求外接圆半径R； （2）求． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，且，，，为边上的一点，满足． （1）求证：直线面； （2）为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题． （1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望． （2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，事件A发生的概率最大，求的值． 20. 已知数列是公差为的等差数列，是的前n项和，． （1）若，且，求数列的通项公式； （2）若，数列的首项为，满足，记数列的前n项和为，求． 21. 已知抛物线，其顶点在坐标原点，直线与抛物线交于M，N两点，且． （1）求抛物线O的方程． （2）已知，，，是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中，均与相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 22. 已知函数和有相同的最大值. （1）求a； （2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求