精品解析：湖南省多校联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023 年下学期高二 12 月联考数学 本试卷共 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1． 答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2． 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑， 如有改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案； 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 5. 如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为函数的零点，且在区间 上 有且仅有两条对称轴，则 可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线为坐标原点，在抛物线上存在两点（异于原点），直线的斜率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分． 9. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 67 57 37 40 46 62 31 47 31 30 则这组数据的（ ） A. 众数是31 B. 中位数是40 C. 极差是37 D. 分位数是30.5 10. 如图所示，四边形为正方形，平面平面为的中点，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线到平面距离为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项 C. 和是中的最小项 D. 满足的的最大值为25 12. 已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（ ） A. 双曲线的标准方程为 B. 若直线的斜率为2，则 C. 若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点 D. 直线过定点 三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知向量的夹角的余弦值为，则________ 14. 若空间向量 共面， 则实数 ________ 15. 已知数列 满足，且，则________ 16. 已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为__________. 四、解答题： 本题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足 （1）求A； （2）若，求a最小值. 18. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为. （1）若，求数列的通项公式; （2）若，求. 19. 已知点是双曲线上任意一点. （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）已知点，求的最小值. 20. 如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成的角为. （1）求证：为线段的中点； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 21. 给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，. （1）判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由; （2）若 ，求数列的前 项和 . 22. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆C上. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线（直线斜率不为0）与椭圆相交于两点，过焦点作与直线的倾斜角互补的直线，与椭圆相交于两点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023 年下学期高二 12 月联考数学 本试卷共 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1