数列求和 讲义-2024届高三数学一轮复习

数列求和 一 公式法 当一个数列的首项，末项，公差或公比以及项数这些基本量已知时，直接套用等差数列或等比数列前n项和公式，重点是会数项数. 【例1】已知两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和. 【练习1】求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式. 1,11,111,1 111,11 111,…. 二 错位相减法 【例2】已知等差数列的前n项和为，且，（）． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 【详解】（1）由题意知：，（） 即：化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为 所以 ①， 可得 ②， ①-②得：. 故. 【练习2】已知数列的通项公式为，在公差为整数的等差数列中，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【练习3】已知数列的前n项和为，且，，数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 三 裂项相消法 1、等差型裂项 (1); (2)); (3)); (4)]; (5)). 【例3】 (2023·山东潍坊高三月考)若Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,且Sn+1=2(Sn+1)(n∈N*). (1)求数列{}的通项公式; 解 (1)因为Sn+1=2(Sn+1),n∈N*, 所以当n≥2时,Sn=2(Sn-1+1), 两式相减可得Sn+1-Sn=2(Sn+1)-2(Sn-1+1),即an+1=2an(n≥2). 当n=1时,a1+a2=S2=2S1+2=2a1+2, 又a1=2,所以a2=4,符合上式. 所以an+1=2an(n∈N*), 故数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2n. 【练习4】已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． 求数列的通项公式； ，为数列的前项和，记，证明：. 【练习5】已知是数列的前项和，，且成等比数列． 求数列的通项公式． 设，数列的前项和为，证明：． 【练习6】已知数列满足 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式 设为数列的前项和，证明. 2、指数型裂项 (1) = = - (2) = ( - ) (3) = = - . = - (4) = - . 3n-1 = - (5) = - 【例4】 已知数列的前项和为，且满足，，当时，是的常数列． 求的通项公式； 当时，设数列的前项和为，证明：． 解：由题可得，当时，， 即， 可知数列的奇数项和偶数项分别是公比为的等比数列， 又，， 则，，， 可知，． ， 则 ， 因为， 所以， 即．  【练习7】设为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 【练习8】已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 【练习9】已知数列的首项，且满足，记. (1)证明：是等比数列； (2)记，证明；数列的前项和. 【练习10】在数列和中，，且是和的等差中项. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)若的前n项和为，求证：. 【练习11】记为数列的前项和，已知，． (1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【练习12】已知数列的前项和满足，且数列中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的最大值与最小值． 参考答案 【练习1】观察可知数列的通项公式为an=(10n-1),其前n项和公式为 Sn=[(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)]=-n]=. 【练习2】（1）因为，所以，即， 因为成等比数列，所以， 设数列的公差为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以. （2）①， ②， 由①-②得， 求得，即. 【练习3】 （1）因为，所以， 所以，，，…，，， 累乘得，，所以，. 因为符合上式，所以. 当时，，所以，即.因为符合上式，所以. 因为，所以，两边取倒数得，即. 因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，故. 令，则，两式相减得， ， 所以， 故. 【练习4】 解：Ⅰ数列是各项均为正数的等比数列，，设公比为，， ，，成等差数列，可得，即， 解得负值舍去，则，； Ⅱ证明：， ，， 则， 由数列在递增，可得， 且，可得．  【练习5】解：由  成等比数列， 得  ， 所以  ． 整理得  ，则  ， 又  ，所以  是以为首项，为公差的等差数列， 所以  ，即  ， 当  时，  ， 所以  ， 当  时，  不符