第11讲　圆锥曲线中的证明与探索性问题讲义——2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第11讲　圆锥曲线中的证明与探索性问题 考点31　证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 解决证明问题的答题模板 角度01　数量关系的证明 【常用方法】数量关系的证明问题的解题策略 主要根据直线、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　 【典例分析31】 1、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列． 角度02　位置关系的证明 【常用方法】圆锥曲线中的位置关系证明问题的常用方法 (1)证明三点共线或直线平行时，用斜率相等． (2)证明直线垂直时，用斜率之积为－1，或用数量积为0． 2、椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点为M，右焦点为F，原点O到直线MF的距离为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l为抛物线y2＝－36x的准线，A，B分别为椭圆的左、右顶点，P为直线l上的任一点(P不在x轴上)，PA交椭圆C于另一点S，PB交椭圆C于另一点T，求证：S，F，T三点共线． 3、已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 　　 考点32　探索性问题 1．圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论． 2．圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． 3．解决探索性问题的答题模板 角度01　探究数量关系 【常用方法】探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论． ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 而这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别 【典例分析32】 1、如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0)，直线AN过点(2，0)． (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA·yB的值； (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 角度02　探究位置关系 【常用方法】解决存在性问题的一些技巧 (1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． (2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去． (3)核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解． ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程(组)，运用方程思想求解． 2、已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左顶点和下顶点，P为直线x＝3上的动点，·的最小值为． (1)求E的方程； (2)设PA与E的另一交点为D，PB与E的另一交点为C，问是否存在点P，使得四边形ABCD为梯形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3、已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为C上的一动点，其中M到F1的最短距离为1，且当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2恰好为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为k的动直线l过点F2，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由． ( 1 ) 学科网（