浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2023-2024学年上学期12月九年级竞赛数学试卷

2023年12月28日九年级数学竞赛试卷 (满分100分测试时间90分钟) 一、填空题(1-10题每题4分，11-16题每题6分，共76分) 1.甲、乙、两三个箱子原本各装有相同数量的小味，已如甲箱内的红球占甲箱内小球总数的分： 乙箱内没 ·小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取 7 有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的 出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为 2.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E, 以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S,-S,为 (第2题) (第3题) (第5题) 3.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF,连接EF 交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN 的长为 4,中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即己知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三 条边长分别为a、b、c,则三角形的面积S可由公式s=√pp-p-bp-可求得，其中p为三角形周长 的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形 面积的最大值为 5,如图，⊙O的弦AB-8,直径CD⊥AB于M,OM:MD=3:2,E是劣弧CB上一点，连结CE并延长 交AB的延长线于点E连结DE,则CE·CF的值为 6二次函数y=m2+4x+1(a为实数，且a<0),对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有 -2≤y≤2，则m的最大值为 7.如图，已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=√3，点P是AD边上的一个动点，连结BP,点C关于直线 BP的对称点为C,连接CC,当点P运动时，点C,也随之运动，若点P从点A运动到点D,则线段CC 扫过的区域的面积是 (第7题) 8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点1,0)，(0,4)，其对称轴在y轴左 侧.有下列结论： ①abc>0:②方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根；③-4<a<0 其中，正确结论的序号为一 9:已知点A(2,4,B(0,1),点M在抛物线y=上运动，则M叶BM的最小值为 10.设△ABC的重心为G,且AG=6,BG=8,CG=10.则S%ABC= I1.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD-6,点E在边BC上，且BE:EC=2:1,动点P从点C出发，沿CD 运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F,若线段EF的中点为M,则点P从C运 动到D的过程中，点M运动的路线长为 (第11题) (第12题) 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CG交AB于点M,连结CE, CH若CH=2CE,则 的值为 3半圆0的直径AB=9,两弦AB、CD相交于点E,弦CD,且BD-7,则D 14.如图，在△ABC中，∠A=15°，AB=2,P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP, 则 AP+PB的最小值是 (第13题) (第14题) (第16题) 15.如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”， 若等边高△ABC(△ABC为锐角三角形)内接于⊙O,BC是高边，AD⊥BC交BC于E点，交⊙O于D点， DE=2,EC=3,则⊙0的直径为 16.如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是B的三等分点，直径CE交AB于点F, 连结AD交CF于点G,连结AC,过点C作CE的垂线交BA的延长线于点H,连结BC交AD于点N, 若⊙O的半径为5，AH=√10，则△ANB的周长为 二、解答题（每题12分，共24分） 17.如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，∠BCD=∠ECF-60°，已知菱形GECF绕点C旋转的 角度为a. B 图① 图② 图③ (1)如图O,当点G在对角线AC上时，求4C 的值； BE (2)如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为a(0°<a<60°)，探索线段AG与BE之间的数量 关系，并证明你的结论； (3)如图③，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为a(0°<a<60),在菱形GECF旋转的过程中，当 点A,G,F在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H,若CE-2,G√5，求AH的长. 18.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是BC上一点（不与点B,C重合），过点P作PD⊥AB于 点D,连接CD并延长交三角形ABC的外接圆于点E,连接EA,EB,AP, 图1 图2 备用图 (I)若CD=CP.CB,求证：BD=