第四章 数列（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

章末小结 选择性必修第二册 第四章《数列》 1 知识网络 知识梳理——1.等差数列和等比数列 知识梳理——1.等差数列和等比数列 知识梳理——1.等差数列和等比数列 知识梳理——1.等差数列和等比数列 知识梳理——1.等差数列和等比数列 知识梳理——2.等差数列的判定 知识梳理——3.等比数列的判定 知识梳理——4.数列的单调性 知识梳理——5.周期数列 方法归纳——1.an的最值 方法归纳——2.Sn的最值 方法归纳——3.等差数列前n项和Sn的最值 方法归纳——3.等差数列前n项和Sn的最值 方法归纳——4.求数列通项an的方法 方法归纳——4.求数列通项an的方法 方法归纳——5.求数列前n项和Sn的方法 方法归纳——5.求数列前n项和Sn的方法 END 等差数列 等比数列 定义 单调性 递增 递减; 摆动数列 通项公式 ，如: ，如: ，如: ，如: 一般 形式 ，形如 等差数列 等比数列 等差中项等比中项 若成等差，则是和的等差中项 若成等比，则是和的等比中项 等比数列奇数项同号，偶数项同号 若，则 如: 若，则 如: 若，则 如: 若，则 如: 等差数列 等比数列 前项和公式 的±的±的±的± 前项和一般形式 (不含常数项的二次函数) 前项和的性质 ，公比为k2d 如: ，公比为qk 如: 等差数列 等比数列 对称 设法 3个数成等差数列，可设为 4个数成等差数列，可设为 3个数成等差数列，可设为； 4个数成等差数列，可设为 的 关系 共项:；； 共-1项:；； 共项： 对称 设法 3个数成等差数列，可设为 4个数成等差数列，可设为 3个数成等差数列，可设为； 4个数成等差数列，可设为 的关系 ①若{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{λan}，{an±bn}仍是等差数列 ②若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列 ③在等差数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等差数列 ④在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an＝d (d为常数)． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数). (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). (1)定义法：对任意n∈N*，＝q (q是不为0的常数)． (2)等比中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足＝an＋1an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝cqn(p，q为常数). (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝ 递增数列：对任意n∈N*，总有an+1>an (即an+1－an>0或) 递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an (即an+1－an<0或) 常数列：各项都相等的数列，如：2，2，2，2，… 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 如：1，﹣2，4，﹣6，8，﹣10，… 形如，，，， 等，可列举出前若干项或迭代作差或作商，观察规律得到周期性，从而求am或Sm. 如：、（）、、、 第一步：判断的单调性： 法1：结合函数的图象或单调性，得到的单调性； 如：、 法2：比较与(作差或作商)，得到的单调性；如： 数列{an}中，若ak最大，则；若ak最小，则 第二步：由的单调性得到{}的最大项或最小项. 思路1：若为等差数列的前n项和，则的最值可看对称轴和开口(d的±)； 如：若=6且d >0，则最小； 若=10.5且d <0，则最大； 思路2：先判断的单调性； ①比较与(作差或作商)； ②函数法(如：) 思路3：看的变化规律得的变化规律， 若{}递增，先负后正，且存在，则最小; 若{}递减，先正后负，且存在，则最大； (1)等差数列{an}的前n项和形如Sn=An2+Bn，可结合二次函数的对称轴分析最值. (2)对于等差数列{an}， ①若a1>0，d>0，则{an}递增且an>0，∴Sn有最小值S1，无最大值； ②若a1<0，d<0，则{an}递减且an<0，∴Sn有最大值S1，无最小值； ③若a1<0，d>0，则{an}递增且an先负后正，∴Sn先减后增，有最小值； 若ak≤0<ak+1，则Sn有最小值Sk ④若a1>0，d<0，则{an}递减且an先正后负，∴Sn先增后减，有最大值；