第四章 数列 章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列章末检测 姓名_________ 班级_________ 分数_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 3．若数列{bn}满足：则数列{bn}的前n项和Sn为（    ） A． B． C． D． 4．已知是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 5．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（   ） A．10 B．11 C．12 D．12或13 7．记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 10．已知数列满足首项（且），，下列说法正确的有（     ） A．是等比数列 B．当时，单调递减 C．当时，恒成立 D．当时，数列前和取最小值时， 11．设数列的前n项和为，若对任意的，均存在，使得，则称为“和数列”；若可拆分为2个“和数列”的和，则称为“双和数列”，下列说法正确的是（    ） A．为“和数列” B．为“和数列” C．为“双和数列” D．为“双和数列” 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等比数列中，，则 ． 13．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知数列的前项和为则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 数列满足：，，等比数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 16.（本小题15分） 已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 17.（本小题15分） 已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 18.（本小题17分） 已知数列的前项和为，且满足，数列中，，对任意正整数． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比的值，若不存在，请说明理由； (3)求证：． 19.（本小题17分） 已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列章末检测解析版 姓名_________ 班级_________ 分数_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以， 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【详解】在和之间插入个构成数列, ， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故选：A 3．若数列{bn}满足：则数列{bn}的前n项和Sn为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列满足， 可得， 可得，可得， 当时，，适合上式. 所以数列的通项公式为. 所以数列是等比数列，首项为4，公比为2. 数列的前项和. 故选：D. 4．已知是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，所以， 所以， 所以， 是首项为2，公比为4的等比数列，所以其和为. 故选：C 5．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，， ， 上述各式相加得. 故选：D 6．已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（   ） A．10 B．11 C．12 D．12或13 【答案】C 【详解】，，当时，，两式相减得， 而，解得，因此数列是等比数列，， 数列是递增正项数列，， 因此，所以当取最小值时，. 故选：C 7．记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】数列中，由，得， 即， 所以 ， 又，所以. 又由，得且， 可知， 所以是整数，于是是整数，且是偶数的平方，则，当取等号. 下面举例说明可以取到， ， ， 此时， 所以的最小值为3. 故选：D. 8．在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，等式两边同时除以，可得. 设，则，又因为， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 则，.故A 正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以.故B正确； 对于C，.故C正确； 对于D，，， 则.故D错误. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 【答案】AD 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知， 解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确. 故选：AD. 10．已知数列满足首项（且），，下列说法正确的有（     ） A．是等比数列 B．当时，单调递减 C．当时，恒成立 D．当时，数列前和取最小值时， 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又且， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，故A正确； 对于B，当时，，所以不是单调递减数列，故B错误； 对于C，当时，，由A得， 所以， 所以时，， 且， 所以，，当时，， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，当时，，由A得， 所以， 所以，令或， 所以当时，数列前和取最小值时，，故D正确. 故选：ACD 11．设数列的前n项和为，若对任意的，均存在，使得，则称为“和数列”；若可拆分为2个“和数列”的和，则称为“双和数列”，下列说法正确的是（    ） A．为“和数列” B．为“和数列” C．为“双和数列” D．为“双和数列” 【答案】ACD 【详解】.对于A，对于数列，注意到， ，则为等差数列， 且，公差，， 若对任意的，均存在，使得， 则，因，则奇偶性不同， 则为正偶数，为正整数，又函数在时单调递增， 则且，故A正确； 对于B，由A可知：为等差数列，且，， ， 若对任意的，均存在，使得， 则，注意到或3时，，则B错误； 对于C，对于任意等差数列，公差为， 则，， 令，则， 因为时，为偶数，则， 则当时，，即时，为“和数列”. 对于，由A可知，为等差数列，且，公差， 设，且均为等差数列，公差分别为，则， 取，则， 由上分析，可知为“和数列”，又，则为“双和数列”，故C正确； 对于D，由A可知为等差数列，且，公差， 设，且均为等差数列，设公差分别为，则， 取，，因， 由C分析，均为“和数列”，又，则为“双和数列”，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等比数列中，，则 ． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 13．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知数列的前项和为则 . 【答案】 【详解】由，， 可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列； 偶数项是以2为首项，公比为2的等比数列． 对任意正整数k，；． 数列的通项公式． 则 ，． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 数列满足：，，等比数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 【答案】(1)，，， (2) 【详解】（1）因， 则当且时，， 则， 由累加法可得， 又，则， 又当时，也满足上式，故，； 因，则， 两式作差得， 则，，， 因数列为等比等比数列，则公比，且， 又，得，则， 故，. （2）由（1）可知， 则， 则， 由两式相减可得，， 故. 16.（本小题15分） 已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，， 又，解得， ，① ，② ②减①得， 所以，即， 所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 当时，， 所以，即， 经检验，当时，满足上式， 所以， 因为， 所以 . 17.（本小题15分） 已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② 得：，， 令，则， 所以是关于n的减函数，得， 所以是关于n的增函数，所以， 而，所以，从而． 18.（本小题17分） 已知数列的前项和为，且满足，数列中，，对任意正整数． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比的值，若不存在，请说明理由； (3)求证：． 【答案】(1) (2)存在，， (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，即， 当时，，符合上式， 所以． （2）由（1）可得，则， 因，则， 假设存在实数，使数列是等比数列， 因为是等比数列， 且， 所以，解得， 从而， 此时，， 所以存在实数，使得数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）可得，，即， 则 当是奇数时：，关于递增， 因，且，则； 当是偶数时：，关于递增， 因，且，则． 综上，． 19.（本小题17分） 已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【答案】(1)；； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 两式相减有：，， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：，且，. 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2） 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； . （3）因为，所以， 左边： ， 右边：，得证. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$