专题64 二项分布与超几何分布、正态分布-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题64 二项分布与超几何分布、正态分布 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：二项分布 题型二：超几何分布的概率 题型三：超几何分布的分布列 题型四：正态分布指定区间概率 题型五：正态分布特殊区间概率 题型六：正态分布3σ原则 题型七：正态分布的实际应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 【考点预测】 1.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 4.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称. ②曲线在x＝μ处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 【常用结论】 1.二项分布当n＝1时就是两点分布. 2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【方法技巧】 1.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 4.解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x＝μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 二、【题型归类】 【题型一】二项分布 【典例1】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 【典例2】（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．已知随机变量X服从正态分布N(2,)且，则 B．已知随机变量(n,p)，若，，则 C．已知，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，(10,0.8)，则当时概率最大 【典例3】（多选）（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）