平面解析几何第07讲抛物线讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第07讲　抛物线 【必备知识】 1、定义：平面内与一定点和一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹 2、方程： 焦点在轴上，标准方程 焦点在轴上，标准方程 3、性质：线段为抛物线的焦点弦 （1）； （2）； （3）焦半径 （4）通径 （5）弦长（为得倾斜角）； （6）. (7)以弦为直径的圆与准线相切． （8）弦中点利用点差法：如果已知某点为弦的中点，则这条弦所在直线的斜率可以用弦的中点坐标表示：以为中点的弦所在直线的斜率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点19　抛物线的定义及应用 【常用方法】抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋ 【典例分析19】 1、已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 2、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 考点20　抛物线的标准方程及性质 【常用方法】1．求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置． (2)再定形：即根据条件求p． 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．　 【典例分析20】 1、已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点．若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x 2、已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则下列结论中错误的有(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 3、已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 考点21　直线与抛物线的综合性问题 【常用方法】解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [提醒]　涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 【典例分析21】 1、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 2、设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． 3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若＝2，则等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$