第05讲椭圆讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第05讲　椭　圆 【必备知识】 1、椭圆的定义：且为常数 注意：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为线段；当时，轨迹不存在。 2、方程： 焦点在轴上，标准方程 参数方程为参数） 焦点在轴上，标准方程参数方程为参数） 注：椭圆上一点一般用参数式假设，两点用一般式。 3、性质：是椭圆上的一点 （1）焦点三角形：设，则，当为短轴端点时，面积最大； （2）切线方程： （3）弦长公式： （4）通径（过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦） 最短的焦点弦= （5）椭圆上的不同的三点，其中两点关于原点对称，则 （6）与椭圆有共焦点的椭圆方程为． （7）的周长为． （8）弦中点利用点差法：如果已知某点为弦的中点，则这条弦所在直线的斜率可以用弦的中点坐标表示：在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率为 4、曲线与方程 轨迹方程的三种解法（1）定义法（又称待定系数法）（2）相关点法（3）直接法。 ． 考点13　椭圆的定义 【常用方法】椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用范围： ①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用： 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等． 【典例分析13】 1、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 2、设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为__________________． 　 考点14　椭圆的标准方程 【常用方法】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件． (2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断焦点的位置； ②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)； ③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； ④求解，得方程． (3)椭圆的标准方程的两个应用 ①方程＋＝1(a>b>0)与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率． ②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【典例分析13】 1、已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋x2＝1 D．＋＝1 2、经过椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左焦点和上顶点的直线记为l．若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 　　 3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为______________________________________________________， 考点14　椭圆的几何性质 角度一　椭圆的离心率(或取值范围) 【常用方法】求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式，离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．　　 【典例分析14】 1、已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　) 2、已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． 角度二　与椭圆有关的最值(或范围)问题 【常用方法】求解最值、取值范围问题的技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． (3)最值问题：将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．　 3、已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4、设椭