专题05 一元一次方程 （知识梳理+培优专练）-2023-2024学年七年级数学上学期期末综合复习专题提优训练（北师大版）

专题05 一元一次方程 知识梳理 一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 四、列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 目录 【题型一 一元一次方程的定义】 3 【题型二 列方程】 4 【题型三 方程的解】 5 【题型四 等式的性质】 5 【题型五 解一元一次方程】 6 【题型六 新定义下的方程题】 6 【题型七 工程问题（一元一次方程的应用）】 7 【题型八 销售盈亏（一元一次方程的应用）】 8 【题型九 方案问题（一元一次方程的应用）】 9 【题型一 一元一次方程的定义】 例题：（2023上·江苏泰州·七年级统考期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程”，判断即可． 【详解】解：A、，含有二个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、，是一元一次方程，本选项符合题意； C、，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、，不是整式方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（2023上·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；其中一元一次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据等号两边都是整式，只有一个未知数且未知数的指数是1的方程是一元一次方程直接逐个判断即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ，，是一元一次方程， 故选：C． 2．（2023上·广东东莞·七年级东莞市东莞中学校考期中）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可；注意是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且，解得． 故答案为． 【题型二 列方程】 例题：（2023下·河南新乡·七年级校联考阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关