广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考 数学试题 2023.12 注意事项： 1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，集合，则 A． B． C． D． 2. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在梯形中，设，，若，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则的最大值为 A． B． C． D． 5．若，则 A． B． C． D． 6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为 A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则 A． B． C． D． 8．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 则下列结论正确的为 A．这位同学成绩的中位数是 B．这位同学成绩的平均数是 C．这位同学成绩的第百分位数是 D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称 11．已知圆，点在圆上，过可作的两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为 A．当，时，点可是上任意一点 B．当，时，可能等于 C．若存在使得△为等边三角形，则的最小值为 D．若存在使得△的面积为，则可能为 12. 已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为 A．的轨迹长度为 B．四面体的体积最大值为 C．二面角的取值范围为 D．当△的周长最小时， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ． 14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导， 若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方 案数为 ． 15．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若恒成 立，则 ． 16. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不 与顶点重合，记为△的内心，，若，则的取值范围 为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （10分） 已知为数列的前项和，且满足（）. (1) 求数列的通项公式； (2) 记，求数列的前项和． 18．（12分） 已知△的内角，，的对边分别为，，，且． (1) 求证：； (2) 若△的面积为，且，求． 19．（12分） 如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形. (1) 证明：； (2) 若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小. 20．（12分） 已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.