考点10 不等式讲义-2024届新高考艺体生一轮复习

考点10 不等式 一．不等式的性质 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． 二．解不等式 1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集 (1)当a>0时，解集为； (2)当a<0时，解集为． 2.解一元二次方程的方法 （1）直接开方： （2）提公因式： （3）求根公式： （4）十字相乘： 三．基本不等式公式 四．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) （3）利用基本不等式求最值的方法 ①知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． ②知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． ③构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解． 五．恒（能）成立含参数的问题 1.分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解 2.不等式恒成立问题的求解方法 ①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． ②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围． ③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 考法一 解无参不等式 【例1】（2023·广东精选）求下列不等式的解集： (1) (2) （3）（4） 【变式】 解下列不等式： (1)；(2)．（3）（4）（5）；（6） 考点二 不等式的性质 【例2-1】（2023·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·山东·校联考模拟预测）对于实数，，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023湖南）若，，，则的取值范围为 考点三 三个一元二次的关系 【例3-1】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·河南）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东）若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2023·安徽阜阳）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 考点四 基本不等式之直接型 【例4-1】（2023·云南曲靖）若，为正实数，且，则的最大值为 ． 【例4-2】(2021·嘉兴期中)已知0＜x＜，则x(5－4x)的最大值是________． 【变式】 1．（2023·宁夏）若，且，则的最大值为 . 2．（2023·四川）已知正数，满足，则的最大值为 ． 3．（2023·山西）已知点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．4 考点五 基本不等式之常数替换型 【例5-1】（2023·陕西·校联考模拟预测）已知，则最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【例5-2】（2023·陕西）已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（2023·重庆）已知，，且，则的最小值为 . 【例5-4】（2023上·贵州·高三