考点09 平面向量讲义-2024届新高考艺体生一轮复习

考点09 平面向量 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定） (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的线性运算 （一）加法：求两个向量和的运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 3.运算律 交换律：＋＝＋ 结合律：(＋)＋＝＋(＋) （2） 减法 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 三．数乘：求实数λ与向量的积的运算 1.数乘：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；当λ<0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 2.运算律 （1）λ(μ)＝(λμ) （2）(λ＋μ)＝λ＋μ （3）λ(＋)＝λ＋λ 3．向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 4．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 四．平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘及向量的模 设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线⇔x1y2－x2y1＝0. 4．向量的夹角 （1）已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π] （2）夹角cos θ＝＝ 5．向量在平面几何中的应用 问题类型 公式表示 线平行、点共线等问题 ∥⇔＝λ⇔x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0 垂直问题 ⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量 夹角问题 cos θ＝(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量 长度问题 ||＝＝，其中＝(x，y)，为非零向量 五．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作· 投影 ||cos θ叫做向量在方向上的投影， ||cos θ叫做向量在方向上的投影 几何意义 数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积 投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝，＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝ 六．向量数量积的运算律 (1)·＝·. (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·. (3)(＋)·＝·c＋· 考点一 概念的辨析 【例1-1】（2023·新疆）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【例1-2】（2023·安徽阜阳）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【变式】 1．（2023·辽宁沈阳）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 2．（2023·安徽阜阳）（多选）给出下列命题，其中叙述错误的命题为（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同 3．（2023·河南省）（多选）下列结论不正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．对于任意，，必有 C．若，则一定存在实数，使 D．若，则或 考点二 平面向量的基本定理（线性运算） 【例2-1】（2022·全国·课时练习）化简（1） （2）； （3）＋． 【例2-2】（2024·四川自贡·统考一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3