（练习）课时分层作业3 共面向量定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(三)　共面向量定理 一、选择题 1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 A　[因为2a－b能够用向量a，b来表示，由共面向量定理可知三个向量a，b,2a－b，它们一定共面．] 2．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－． 又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴－x－＝1，解得x＝．] 3．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y.则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y，其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①若p＝xa＋yb，则p与a，b肯定在同一平面内，正确； ②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立； ③若＝x＋y，则，，三个向量在同一平面内，P，M，A，B共面，正确； ④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确． 所以真命题的个数为2．] 4．已知三棱锥S­ABC的棱长均为3，若空间中一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为(　　) A． B． C． D．1 A　[由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，知P与A，B，C共面，则||的最小值为三棱锥的高．如图，设O为S在平面ABC上的射影，由已知可得三棱锥S­ABC为正三棱锥．连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，所以CO＝，所以三棱锥的高为＝，故选A．] 5．(多选题)下列命题中错误的是(　　) A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0 B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 BCD　[显然A正确； 若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误； 若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误； 只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．] 二、填空题 6．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系为________． AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE　[由＝λ＋μ(λ，μ∈R)及共面向量定理可知：向量与向量、共面，即直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行．] 7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x＝________． 　[已知＝x＋＋且M，A，B，C四点共面， 则x＋＋＝1，解得x＝．] 8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________． －1　[由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1．] 三、解答题 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面． [证明]　∵＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)， ∴＝－＝(＋)－＝(－)＋＝＋， ∴与，共面． 10．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面． [证明]　∵＝，＝， ∴＝2，＝2． 又∵＝＋＋ ＝＋＋(＋) ＝(＋)＋＋(＋) ＝(＋)， ① 又A，B，C及A1，B1，C1分别共线， ∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω． 代入①式，得＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω． ∴，，共面． ∴M，N，P，Q四点共面． 11．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1HN，平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋3z＝(　　) A． B． C． D． C　[如图，由题意可得＝x＋y＋z＝x＋y＋z＝x＋y＋z， ∵O，A，C，M四点共面，O，H，N，B1四点共面， ∴解得x＋y＝，z＝， ∴x＋y＋3z＝＋＝，故选C．] 12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1的中点．若P为侧面ADD1A1内(含边界)的动点，且存在x，y∈R，使＝x＋