（讲义）第7章 7.3 第1课时 组合与组合数公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

7.3　组合

第1课时　组合与组合数公式

 

知识点1　组合与组合数的概念

1．组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．

1．怎样理解组合，它与排列有何区别？

[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．

(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．

2．如何理解组合与组合数这两个概念？

[提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．

知识点2　组合数公式及其性质

(1)公式：C＝＝＝．

(2)性质：C＝C，C＋C＝C．

(3)规定：C＝1．

1．C＝________．

2 024　[C＝C＝2 024．]

2．方程C＝C的解为_______．

4或6　[由题意知Error!

或Error!解得x＝4或6．]

类型1　 组合的概念

【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：

①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？

②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

③元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？

(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．

[解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．

②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．

③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．

(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即

所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．

1．判断一个问题是组合问题还是排列问题的标准

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

2．写组合的技巧

写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐